DGL erster Ordnung

Übungsquiz zu DGL erster Ordnung mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion

Nutze das Quiz weiter unten auf der Seite, um gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung mit den wichtigsten Ideen zu üben: \(\frac{dy}{dx}\) als Steigung deuten, erkennen, ob die Gleichung separierbar oder linear ist, Variablen trennen, den integrierenden Faktor bilden, Anfangsbedingungen anwenden und Lösungen durch Einsetzen und Differenzieren prüfen.

Beantworte die Fragensammlung und prüfe deine Fehler am Ende.

So funktioniert diese Übung zu DGL erster Ordnung

1. Bearbeite das Übungsset: Beantworte weiter unten auf der Seite die Fragen zu DGL erster Ordnung.
2. Öffne die Lektion (optional): Wiederhole Steigungsbedeutung, separierbare Gleichungen, integrierende Faktoren, Anfangswertprobleme und häufige Modellbeispiele.
3. Versuche es erneut: Kehre zum Fragenset zurück und wende die Methoden direkt an.

Was du in der Lektion zu DGL erster Ordnung lernst

Steigung und Grundaufbau

Steigungsblick: Lies \(\frac{dy}{dx}\) als Steigung der Tangente.
Allgemeine Form: Schreibe Gleichungen mit Ableitungen und isoliere bei Bedarf \(y'\).
Übung: Verschiebe Terme sorgfältig und vereinfache zur klarsten lösbaren Form.

Separierbare Gleichungen

Separierbare Form erkennen: Schreibe um zu \(y' = f(x)g(y)\) oder \(\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx\).
Integrieren: Integriere beide Seiten und füge die Konstante \(C\) hinzu.
Übungsbeispiele: natürliche Wachstums- und Zerfallsmodelle, bei denen die Trennung sofort möglich ist.

Lineare DGL erster Ordnung

Standardform: \(y' + P(x)y = Q(x)\).
Integrierender Faktor: \(\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}\).
Ablauf: Mit \(\mu\) multiplizieren, integrieren und dann nach \(C\) auflösen.

Anfangswertprobleme (AWP)

Anfangsdaten anwenden: Nutze \(y(x_0)=y_0\), um die richtige Konstante zu bestimmen.
Bedingungen nutzen: Wandle Kontextangaben in gültige \((x_0,y_0)\)-Informationen um.
Übung: Prüfe Modelllösungen an der ursprünglichen Gleichung und Anfangsbedingung.

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Übungsset

Übungsfragen zu Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung mit sofortiger Punktzahl

Beantworte alle 10 Fragen unten und erhalte danach deine Punktzahl sowie eine Fehlerübersicht, damit du genau weißt, was du verbessern kannst.

0 / 10 beantwortet

Frage 1 Nicht beantwortet

Löse die DGL \(\frac{dy}{dx} = -5\). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Frage 2 Nicht beantwortet

Löse die separierbare DGL \(\frac{dy}{dx} = x\,y\). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Frage 3 Nicht beantwortet

Löse \(\frac{dy}{dx} = y\). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Frage 4 Nicht beantwortet

Löse \(\frac{dy}{dx} = x\). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Frage 5 Nicht beantwortet

Löse \(\frac{dy}{dx} = 4x\). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Frage 6 Nicht beantwortet

Löse \(\frac{dy}{dx} = 6x^2\). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Frage 7 Nicht beantwortet

Löse die lineare DGL \(\frac{dy}{dx} + y = 0\). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Frage 8 Nicht beantwortet

Löse \(\frac{dy}{dx} + 3y = 0\). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Frage 9 Nicht beantwortet

Löse \(\frac{dy}{dx} = 2\) mit Anfangsbedingung \(y(0)=5\). Wie lautet die partikuläre Lösung?

Frage 10 Nicht beantwortet