Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre EDO de primer orden - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.
Cuestionario de práctica de EDO de primer orden con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario al principio de la página para practicar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con las ideas más importantes: interpretar \(\frac{dy}{dx}\) como una pendiente, identificar si la ecuación es separable o lineal, separar variables, construir el factor integrante, aplicar condiciones iniciales y comprobar soluciones por sustitución y diferenciación.
Cómo funciona esta práctica de EDO de primer orden
1. Haz el cuestionario: responde las preguntas de EDO de primer orden al principio de la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa el significado de la pendiente, ecuaciones separables, factores integrantes, problemas de valor inicial y ejemplos comunes de modelos.
3. Reintenta: vuelve al cuestionario y aplica los métodos de inmediato.
Qué aprenderás en la lección de EDO de primer orden
Pendiente y planteamiento básico
Vista de pendiente: lee \(\frac{dy}{dx}\) como la pendiente de la tangente.
Forma general: escribe ecuaciones en términos de derivadas y aísla \(y'\) cuando sea necesario.
Práctica: mueve términos con cuidado y reduce a la forma resoluble más clara.
ecuaciones separables
Reconoce la forma separable: reescribe como \(y' = f(x)g(y)\) o \(\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx\).
Integra: integra ambos lados y añade la constante \(C\).
Ejemplos de práctica: modelos de crecimiento y decaimiento naturales donde la separación es inmediata.
EDO lineales de primer orden
Forma estándar: \(y' + P(x)y = Q(x)\).
Factor integrante: \(\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}\).
Flujo de trabajo: multiplica por \(\mu\), integra y luego resuelve para \(C\).
Problemas de valor inicial (PVI)
Aplica el dato inicial: usa \(y(x_0)=y_0\) para elegir la constante correcta.
Usa condiciones: convierte enunciados de contexto en información válida \((x_0,y_0)\).
Práctica: comprueba soluciones de modelos contra la ecuación original y la condición inicial.
Volver al cuestionario
Cuando estés listo, vuelve al cuestionario al principio de la página y sigue practicando EDO de primer orden.
★★★★★★
🧡
EDO de primer orden Lección
Guía paso a paso
Toca para abrir ->
Cargando...
Lección de EDO de primer orden
1 / 8
Resumen de la lección
Resumen de la lección
Propósito: Resolver EDO de primer orden identificando formas separables y lineales, integrando correctamente, usando condiciones iniciales y comprobando por sustitución/diferenciación.
Criterios de éxito
Identifica el tipo de ecuación (separable, lineal o problema de valor inicial).
Aplica correctamente la separación o el flujo de trabajo del factor integrante.
Usa condiciones iniciales para encontrar \(C\).
Comprueba tu solución por diferenciación y sustitución.
Elige rápido el método correcto en preguntas de cuestionario.
Identifica el tipo de ecuación (separable, lineal o problema de valor inicial).
Aplica correctamente la separación o el flujo de trabajo del factor integrante.
Usa condiciones iniciales para encontrar \(C\).
Comprueba tu solución por diferenciación y sustitución.
Elige rápido el método correcto en preguntas de cuestionario.
Vocabulario clave
Solución general: la familia \(y(x)=\text{solución}(C)\).
Solución particular: la solución específica después de usar una condición inicial.
Separable: ecuaciones que pueden escribirse como \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\).
Lineal de primer orden: \(y'+P(x)y=Q(x)\).
Comprobación rápida previa
Comprobación previa 1: Si \(y'=\dfrac{1}{x}\), ¿la ecuación es separable?
Una ecuación separable puede reescribirse como \(y' = f(x)g(y)\).
Comprobación previa 2: En \(y'+3y=0\), ¿cuál es \(P(x)\)?
Problemas de valor inicial: convertir una familia en una sola curva
Objetivo de aprendizaje: Usar una condición inicial para encontrar la constante \(C\) y escribir la solución particular.
Idea clave
Una solución general contiene una constante arbitraria \(C\). Una condición inicial como \(y(x_0)=y_0\) elige el miembro único de la familia (cuando existe).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Resuelve \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=2\) con \(y(0)=5\).
Integra: \[
\ty = 2x + C.
\]
Usa la condición inicial \(y(0)=5\):
\[
\t5 = 2(0) + C \Rightarrow C=5.
\]
Entonces la solución particular es
\[
\ty = 2x + 5.
\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Resuelve la EDO \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=5x^4\). ¿Cuál es la solución general?
Pista: \(\int 5x^4dx = x^5 + C\).
Inténtalo 2: Resuelve \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-3\). ¿Cuál es la solución general?
Pista: Si la derivada es la constante \(-3\), la solución es una recta con pendiente \(-3\).
Resumen
Solución general \(\Rightarrow\) contiene \(C\). Condición inicial \(\Rightarrow\) encuentra \(C\).
Comprueba siempre diferenciando después de aplicar la condición inicial.
Aplicaciones & panorama general
Por qué importan las EDO de primer orden (y una comprobación final)
Objetivo de aprendizaje: Conectar técnicas de EDO de primer orden con modelado y construir una rutina confiable de resolver + comprobar.
Dónde aparecen las EDO de primer orden
Crecimiento/decaimiento: \(y'+ky\) modela poblaciones y decaimiento radiactivo.
Movimiento con aceleración constante: la velocidad y la posición vienen de integrar derivadas.
Circuitos eléctricos: EDO lineales de primer orden en circuitos RC simples (relaciones corriente/voltaje).
Enfriamiento: la ley de enfriamiento de Newton usa \(T' = -k(T-T_{\text{amb}})\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Muestra que \(y=\sin x + C\) satisface \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\cos x\).
Diferencia:
\[
\t\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin x + C)=\cos x.
\]
Esto coincide exactamente con el lado derecho, así que \(y=\sin x + C\) es una solución.
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la solución general de \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\cos x\)?
Pista: Diferencia cada opción: \((\sin x)'=\cos x\).
Repaso final
General vs. particular: resuelve primero y luego usa la condición inicial para encontrar \(C\).
EDO separables: reorganiza como \(g(y)\,dy=f(x)\,dx\), integra y despeja \(y\) si es posible.
EDO lineales: \(y'+P(x)y=Q(x)\), factor integrante \(\mu=e^{\int P\,dx}\), luego \((\mu y)'=\mu Q\).
Comprueba siempre: diferencia tu solución y sustitúyela en la EDO original.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que coincida con el tipo de EDO (integración directa, separable o lineal con factor integrante).
Racha 5+
Racha 10+
Racha 15+
Racha 20+
Racha 25+