प्रथम-क्रम अवकल समीकरण अभ्यास क्विज़
इस अभ्यास में प्रथम-क्रम अवकल समीकरण सीखें: ढाल क्षेत्र, विभाज्य समीकरण, रैखिक समीकरण, समाकलन गुणक और आरंभिक मान समस्याएँ।
यह अभ्यास कैसे काम करता है
- 1. क्विज़ हल करें: समीकरण देखकर विधि पहचानें।
- 2. पाठ खोलें: विभाज्य, रैखिक और आरंभिक मान समस्या उदाहरण देखें।
- 3. फिर से प्रयास करें: चर अलग करें, समाकलन गुणक लगाएँ या प्रारंभिक मान प्रतिस्थापित करें।
आप क्या सीखेंगे
मूल बातें
- प्रथम-क्रम अवकल समीकरण में \(\dfrac{dy}{dx}\) और \(x,y\) के बीच संबंध होता है।
- सामान्य हल में मनमाना स्थिरांक आता है।
- पहले अवकल समीकरण प्रकार पहचानना अभ्यास का मुख्य लक्ष्य है।
विभाज्य समीकरण
- यदि \(\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)\), तो चर अलग किए जा सकते हैं।
- \(\dfrac{1}{h(y)}dy=g(x)dx\) लिखकर दोनों तरफ समाकलित करें।
- वृद्धि, क्षय और मिश्रण मॉडल में विभाज्य समीकरण आते हैं।
रैखिक समीकरण
- मानक रूप: \(y^{\prime}+p(x)y=q(x)\)।
- समाकलन गुणक: \(\mu(x)=e^{\int p(x)dx}\)।
- पहले समीकरण को मानक रूप में लाएँ।
आरंभिक मान समस्याएँ
- सामान्य हल के बाद आरंभिक शर्त से स्थिरांक निकालें।
- ढाल क्षेत्र हल वक्र का गुणात्मक व्यवहार दिखाते हैं।
- अवकल समीकरण मॉडल में प्रारंभिक मान वास्तविक प्रारंभिक शर्त होती है।
अभ्यास सेट
प्रथम-क्रम के ओडीई अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
\(\frac{dy}{dx} = -5\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: D. \(y = -5x + C\)
व्याख्या: समाकलन करें: \(y = -5x + C\).
अलग किए जा सकने वाले ODE \(\frac{dy}{dx} = x\,y\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = Ce^{x^2/2}\)
व्याख्या: अलग कीजिए: \(\frac{dy}{y} = x\,dx\). समाकलन करें: \(\ln|y| = x^2/2 + C\) ⇒ \(y = Ce^{x^2/2}\).
\(\frac{dy}{dx} = y\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: D. \(y = Ce^x\)
व्याख्या: अलग कीजिए: \(dy/y = dx\). समाकलन करें: \(\ln|y| = x + C\) ⇒ \(y = Ce^x\).
\(\frac{dy}{dx} = x\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = x^2/2 + C\)
व्याख्या: समाकलन करें: \(y = x^2/2 + C\).
\(\frac{dy}{dx} = 4x\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = 2x^2 + C\)
व्याख्या: समाकलन करें: \(y = 2x^2 + C\).
\(\frac{dy}{dx} = 6x^2\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = 2x^3 + C\)
व्याख्या: समाकलन करें: \(y = 2x^3 + C\).
रेखीय ODE \(\frac{dy}{dx} + y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: A. \(y = Ce^{-x}\)
व्याख्या: पुनर्व्यवस्थित करें: \(dy/y = -dx\)। समाकलन करें: \(\ln|y| = -x + C\) ⇒ \(y = Ce^{-x}\)।
\(\frac{dy}{dx} + 3y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: A. \(y = Ce^{-3x}\)
व्याख्या: पुनर्व्यवस्थित करें: \(dy/y = -3\,dx\)। समाकलन करें: \(\ln|y| = -3x + C\) ⇒ \(y = Ce^{-3x}\)।
प्रारंभिक शर्त \(y(0)=5\) के साथ \(\frac{dy}{dx} = 2\) को हल कीजिए। विशेष हल क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = 2x + 5\)
व्याख्या: सामान्य हल: \(y=2x+C\)। \(y(0)=5\) रखें ⇒ \(C=5\)। अतः \(y=2x+5\)।
\(\frac{dy}{dx} = x\) को \(y(1)=3\) के साथ हल कीजिए। \(y(x)\) क्या है?
सही उत्तर: A. \(y = x^2/2 + 2.5\)
व्याख्या: सामान्य हल: \(y=x^2/2+C\)। \(y(1)=3\) रखें ⇒ \(C=3-1/2=2.5\)। अतः \(y=x^2/2+2.5\)।
परिणाम
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