Una forma bilineal es lineal en cada argumento por separado

Idea clave

Para espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, una forma bilineal es una aplicación con valores escalares \(B:V\times V\to F\) tal que \(B(ax_1+bx_2,y)=aB(x_1,y)+bB(x_2,y)\) y \(B(x,ay_1+by_2)=aB(x,y_1)+bB(x,y_2)\). En coordenadas, toda forma bilineal en \(F^n\) tiene la forma \(B(x,y)=x^TAy\).

Lista de reconocimiento

• No debe haber potencias como \(x_1^2\) dentro de la prueba del primer argumento.
• No debe haber longitudes como \(\|y\|\), porque las normas no son lineales.
• Los productos \(x_i y_j\) son aceptables: cada argumento sigue apareciendo linealmente cuando el otro está fijo.
• La simetría es una propiedad separada; una forma bilineal puede ser bilineal sin ser simétrica.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Las formas cuadráticas vienen de evaluar dos veces una forma simétrica

Idea clave

Si \(B\) es simétrica, entonces \(q(x)=B(x,x)\) es una forma cuadrática. Recíprocamente, sobre cuerpos donde \(2≠0\), una forma cuadrática determina su forma bilineal simétrica mediante polarización. En coordenadas reales, escribe \(q(x)=x^TAx\) con \(A=A^T\).

Procedimiento matricial

• El coeficiente de \(x_i^2\) es la entrada diagonal \(a_{ii}\).
• El coeficiente de \(x_i x_j\) para \(i≠ j\) es \(2a_{ij}\) cuando \(A\) es simétrica.
• Por tanto, la entrada fuera de la diagonal es la mitad del coeficiente del término mixto.
• Solo la parte simétrica de una matriz contribuye a \(x^TAx\), porque \(x^TSx=0\) para \(S\) antisimétrica.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

La definitud depende de los valores en todos los vectores no nulos

Idea clave

Una forma cuadrática es definida positiva cuando es estrictamente positiva en todo vector no nulo. Es semidefinida cuando nunca cambia de signo pero puede anularse en un vector no nulo. Es indefinida cuando tiene direcciones positivas y negativas.

Lista de clasificación

• Definida positiva: \(q(x)>0\) para todo \(x≠0\).
• Semidefinida positiva: \(q(x)\ge0\) para todo \(x\), con al menos una dirección nula no nula si no es definida.
• Definida negativa: \(q(x)<0\) para todo \(x≠0\).
• Semidefinida negativa: \(q(x)\le0\) para todo \(x\), con al menos una dirección nula no nula si no es definida.
• Indefinida: algunos vectores hacen que \(q\) sea positiva y otros hacen que \(q\) sea negativa.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Usa menores o valores propios en lugar de adivinar signos

Idea clave

Para una matriz simétrica real, los signos de los valores propios clasifican la forma cuadrática. En dimensión \(2\), la matriz \(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) es definida positiva exactamente cuando \(a>0\) y \(ac-b^2>0\).

Criterio de Sylvester

• Matriz simétrica definida positiva: todos los menores principales iniciales son positivos.
• Para \(2\times2\): \(a>0\) y \(\det A>0\).
• Si \(\det A<0\) en dimensión \(2\), los valores propios tienen signos opuestos, así que la forma es indefinida.
• Un determinante cero no prueba por sí solo semidefinitud; comprueba los signos restantes.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Cambia variables para ver rango y signatura

Idea clave

Si \(A=A^T\), el teorema espectral da \(A=QDQ^T\), y con \(y=Q^Tx\), \[x^TAx=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.\] Más generalmente, los cambios de variables no singulares dan matrices congruentes \(P^TAP\). Pueden cambiar los valores propios, pero preservan la cantidad de términos cuadrados positivos, negativos y nulos.

Hechos sobre la inercia

• El rango es el número de coeficientes no nulos en la forma diagonal.
• La signatura \((n_+,n_-)\) cuenta los coeficientes positivos y negativos.
• La nulidad cuenta los coeficientes nulos.
• La ley de inercia de Sylvester dice que estos conteos son invariantes bajo congruencia no singular.
• La semejanza \(P^{-1}AP\) preserva valores propios; la congruencia \(P^TAP\) preserva la inercia para formas simétricas.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Una forma cuadrática real recuerda su forma bilineal simétrica

Idea clave

Cuando \(q(x)=B(x,x)\) para una forma bilineal simétrica sobre \(\mathbb{R}\), la identidad de polarización es \[B(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(q(x+y)-q(x)-q(y)\bigr).\] Por tanto, los datos diagonales \(q(x)\) determinan toda la forma bilineal simétrica.

Notas de polarización

• Una \(B\) simétrica definida positiva es un producto interno.
• La norma correspondiente es \(\|x\|=\sqrt{B(x,x)}=\sqrt{q(x)}\).
• Una forma real antisimétrica no contribuye nada a \(q(x)=B(x,x)\), porque \(B(x,x)=0\).
• La polarización recupera la parte simétrica, no una parte antisimétrica oculta.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

La mayoría de los errores confunden matrices, signos o cambio de base

Errores frecuentes

• Términos mixtos: el coeficiente de \(xy\) se reparte entre dos entradas simétricas fuera de la diagonal.
• Bilineal no significa simétrica: la simetría es extra, no parte de la definición.
• Semidefinida no significa definida: una dirección nula no nula impide la definitud.
• Los signos de valores propios necesitan simetría: clasifica \(x^TAx\) usando la parte simétrica.
• Congruencia no es semejanza: la congruencia preserva la inercia; la semejanza preserva los valores propios.
• Las partes antisimétricas se anulan en la diagonal: no afectan a \(q(x)=x^TAx\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Repaso final

• Bilineal significa lineal en cada argumento por separado.
• En coordenadas, \(B(x,y)=x^TAy\).
• Las formas bilineales simétricas corresponden a matrices simétricas.
• Una forma cuadrática es \(q(x)=B(x,x)\) o \(x^TAx\) con \(A=A^T\).
• Los coeficientes mixtos se reparten entre entradas simétricas fuera de la diagonal.
• Definida positiva significa \(q(x)>0\) para todo \(x\) no nulo.
• Las formas semidefinidas pueden anularse en vectores no nulos.
• Los signos de valores propios o el criterio de Sylvester clasifican formas simétricas reales.
• La congruencia preserva signatura y rango; la semejanza preserva valores propios.
• La polarización recupera la forma bilineal simétrica a partir de \(q\).