Билинейная форма линейна по одному аргументу за раз

Ключевая идея

Для векторных пространств над одним и тем же полем билинейная форма — это скалярнозначное отображение \(B:V\times V\to F\), такое что \(B(ax_1+bx_2,y)=aB(x_1,y)+bB(x_2,y)\) и \(B(x,ay_1+by_2)=aB(x,y_1)+bB(x,y_2)\). В координатах каждая билинейная форма на \(F^n\) имеет вид \(B(x,y)=x^TAy\).

Контрольный список распознавания

• Нет степеней вроде \(x_1^2\) при проверке первого аргумента.
• Нет длин вроде \(\|y\|\), потому что нормы не линейны.
• Произведения \(x_i y_j\) допустимы: каждый аргумент все еще входит линейно, когда другой фиксирован.
• Симметричность — отдельное свойство; билинейная форма может быть билинейной, но не симметричной.

Разобранный пример

Попробуйте

Квадратичные формы возникают, когда симметричную форму вычисляют на одном векторе дважды

Ключевая идея

Если \(B\) симметрична, то \(q(x)=B(x,x)\) — квадратичная форма. Обратно, над полями, где \(2≠0\), квадратичная форма определяет свою симметричную билинейную форму через поляризацию. В вещественных координатах записывайте \(q(x)=x^TAx\) при \(A=A^T\).

Матричный рецепт

• Коэффициент при \(x_i^2\) — это диагональный элемент \(a_{ii}\).
• Коэффициент при \(x_i x_j\) для \(i≠ j\) равен \(2a_{ij}\), когда \(A\) симметрична.
• Поэтому внедиагональный элемент равен половине коэффициента смешанного члена.
• В \(x^TAx\) участвует только симметричная часть матрицы, потому что \(x^TSx=0\) для кососимметричной \(S\).

Разобранный пример

Попробуйте

Определенность говорит о значениях на всех ненулевых векторах

Ключевая идея

Квадратичная форма положительно определена, когда она строго положительна вне нуля. Она полуопределена, когда знак никогда не меняется, но на ненулевом векторе может обращаться в ноль. Она неопределена, когда имеет и положительные, и отрицательные направления.

Контрольный список классификации

• Положительно определенная: \(q(x)>0\) для всех \(x≠0\).
• Положительно полуопределенная: \(q(x)\ge0\) для всех \(x\), причем есть хотя бы одно ненулевое нулевое направление, если форма не определенная.
• Отрицательно определенная: \(q(x)<0\) для всех \(x≠0\).
• Отрицательно полуопределенная: \(q(x)\le0\) для всех \(x\), причем есть хотя бы одно ненулевое нулевое направление, если форма не определенная.
• Неопределенная: на одних векторах \(q\) положительна, а на других \(q\) отрицательна.

Разобранный пример

Попробуйте

Используйте миноры или собственные значения вместо угадывания знаков

Ключевая идея

Для вещественной симметричной матрицы знаки собственных значений классифицируют квадратичную форму. В размерности \(2\) матрица \(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) положительно определена тогда и только тогда, когда \(a>0\) и \(ac-b^2>0\).

Критерий Сильвестра

• Положительно определенная симметричная матрица: все ведущие главные миноры положительны.
• Для \(2\times2\): \(a>0\) и \(\det A>0\).
• Если \(\det A<0\) в размерности \(2\), собственные значения имеют противоположные знаки, поэтому форма неопределенная.
• Нулевой определитель сам по себе не доказывает полуопределенность; проверьте оставшиеся знаки.

Разобранный пример

Попробуйте

Замените переменные, чтобы увидеть ранг и сигнатуру

Ключевая идея

Если \(A=A^T\), спектральная теорема дает \(A=QDQ^T\), и при \(y=Q^Tx\) \[x^TAx=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.\] В более общем случае невырожденные замены переменных дают конгруэнтные матрицы \(P^TAP\). Они могут менять собственные значения, но сохраняют числа положительных, отрицательных и нулевых квадратов.

Факты об инерции

• Ранг — это число ненулевых коэффициентов при квадратах в диагональной форме.
• Сигнатура \((n_+,n_-)\) считает положительные и отрицательные коэффициенты.
• Дефект считает нулевые коэффициенты.
• Закон инерции Сильвестра утверждает, что эти числа инвариантны при невырожденной конгруэнтности.
• Подобие \(P^{-1}AP\) сохраняет собственные значения; конгруэнтность \(P^TAP\) сохраняет инерцию для симметричных форм.

Разобранный пример

Попробуйте

Вещественная квадратичная форма помнит свою симметричную билинейную форму

Ключевая идея

Когда \(q(x)=B(x,x)\) для симметричной билинейной формы над \(\mathbb{R}\), тождество поляризации имеет вид \[B(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(q(x+y)-q(x)-q(y)\bigr).\] Поэтому диагональные данные \(q(x)\) определяют всю симметричную билинейную форму.

Заметки о поляризации

• Положительно определенная симметричная \(B\) является скалярным произведением.
• Соответствующая норма равна \(\|x\|=\sqrt{B(x,x)}=\sqrt{q(x)}\).
• Кососимметричная вещественная форма ничего не добавляет к \(q(x)=B(x,x)\), потому что \(B(x,x)=0\).
• Поляризация восстанавливает симметричную часть, а не скрытую кососимметричную часть.

Разобранный пример

Попробуйте

Большинство ошибок смешивает матрицы, знаки или замену базиса

Типичные ошибки

• Смешанные члены: коэффициент при \(xy\) распределяется между двумя симметричными внедиагональными элементами.
• Билинейность не означает симметричность: симметрия — дополнительное свойство, а не часть определения.
• Полуопределенность не является определенностью: ненулевое нулевое направление мешает определенности.
• Для знаков собственных значений нужна симметрия: классифицируйте \(x^TAx\) через симметричную часть.
• Конгруэнтность не является подобием: конгруэнтность сохраняет инерцию; подобие сохраняет собственные значения.
• Кососимметричные части исчезают на диагонали: они не влияют на \(q(x)=x^TAx\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоговое повторение

• Билинейность означает линейность по каждому аргументу отдельно.
• В координатах \(B(x,y)=x^TAy\).
• Симметричные билинейные формы соответствуют симметричным матрицам.
• Квадратичная форма — это \(q(x)=B(x,x)\) или \(x^TAx\) при \(A=A^T\).
• Смешанные коэффициенты делятся между симметричными внедиагональными элементами.
• Положительная определенность означает \(q(x)>0\) для каждого ненулевого \(x\).
• Полуопределенные формы могут обращаться в ноль на ненулевых векторах.
• Знаки собственных значений или критерий Сильвестра классифицируют вещественные симметричные формы.
• Конгруэнтность сохраняет сигнатуру и ранг; подобие сохраняет собственные значения.
• Поляризация восстанавливает симметричную билинейную форму из \(q\).