द्विरेखीय रूप एक समय में एक स्थान में रैखिक होता है

मुख्य विचार

एक ही क्षेत्र पर सदिश स्थानों के लिए, द्विरेखीय रूप ऐसा अदिश-मूल्य मानचित्र \(B:V\times V\to F\) है जिसके लिए \(B(ax_1+bx_2,y)=aB(x_1,y)+bB(x_2,y)\) और \(B(x,ay_1+by_2)=aB(x,y_1)+bB(x,y_2)\). निर्देशांकों में, \(F^n\) पर हर द्विरेखीय रूप \(B(x,y)=x^TAy\) के आकार का होता है.

पहचान जाँच-सूची

• पहले स्थान की जाँच में \(x_1^2\) जैसी घातें नहीं होनी चाहिए.
• \(\|y\|\) जैसी लंबाइयाँ नहीं होनी चाहिए, क्योंकि मानक रैखिक नहीं होते.
• गुणनफल \(x_i y_j\) स्वीकार्य हैं: दूसरा स्थान स्थिर रखने पर प्रत्येक स्थान अब भी रैखिक दिखता है.
• सममित होना अलग गुण है; कोई द्विरेखीय रूप द्विरेखीय हो सकता है पर सममित न हो.

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द्विघात रूप सममित रूप को दो बार लगाने से मिलते हैं

मुख्य विचार

यदि \(B\) सममित है, तो \(q(x)=B(x,x)\) एक द्विघात रूप है. उलटे, ऐसे क्षेत्रों में जहाँ \(2≠0\), कोई द्विघात रूप ध्रुवीकरण से अपना सममित द्विरेखीय रूप निर्धारित करता है. वास्तविक निर्देशांकों में, \(A=A^T\) के साथ \(q(x)=x^TAx\) लिखें.

मैट्रिक्स विधि

• \(x_i^2\) का गुणांक विकर्ण प्रविष्टि \(a_{ii}\) है.
• \(i≠ j\) के लिए \(x_i x_j\) का गुणांक, \(A\) सममित होने पर \(2a_{ij}\) है.
• इसलिए विकर्ण से बाहर की प्रविष्टि मिश्र पद के गुणांक का आधा होती है.
• मैट्रिक्स का केवल सममित भाग \(x^TAx\) में योगदान देता है, क्योंकि विषम-सममित \(S\) के लिए \(x^TSx=0\).

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निश्चितता सभी अशून्य सदिशों पर मानों के बारे में है

मुख्य विचार

द्विघात रूप धनात्मक निश्चित तब होता है जब शून्य से हटकर वह सख्ती से धनात्मक हो. वह अर्ध-निश्चित तब होता है जब चिह्न नहीं बदलता, लेकिन किसी अशून्य सदिश पर शून्य हो सकता है. वह अनिश्चित तब होता है जब उसमें धनात्मक और ऋणात्मक दोनों दिशाएँ हों.

वर्गीकरण जाँच-सूची

• धनात्मक निश्चित: सभी \(x≠0\) के लिए \(q(x)>0\).
• धनात्मक अर्ध-निश्चित: सभी \(x\) के लिए \(q(x)\ge0\), और यदि निश्चित नहीं है तो कम से कम एक अशून्य शून्य-दिशा होती है.
• ऋणात्मक निश्चित: सभी \(x≠0\) के लिए \(q(x)<0\).
• ऋणात्मक अर्ध-निश्चित: सभी \(x\) के लिए \(q(x)\le0\), और यदि निश्चित नहीं है तो कम से कम एक अशून्य शून्य-दिशा होती है.
• अनिश्चित: कुछ सदिश \(q\) को धनात्मक और कुछ सदिश \(q\) को ऋणात्मक बनाते हैं.

हल किया हुआ उदाहरण

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चिह्नों का अनुमान लगाने के बजाय उपसारणिक या स्वमानों का उपयोग करें

मुख्य विचार

वास्तविक सममित मैट्रिक्स के लिए, स्वमानों के चिह्न द्विघात रूप का वर्गीकरण करते हैं. आयाम \(2\) में, मैट्रिक्स \(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) ठीक तभी धनात्मक निश्चित है जब \(a>0\) और \(ac-b^2>0\).

सिल्वेस्टर कसौटी

• धनात्मक निश्चित सममित मैट्रिक्स: सभी अग्रणी प्रमुख उपसारणिक धनात्मक होते हैं.
• \(2\times2\) के लिए: \(a>0\) और \(\det A>0\).
• आयाम \(2\) में यदि \(\det A<0\), तो स्वमानों के चिह्न विपरीत होते हैं, इसलिए रूप अनिश्चित है.
• शून्य सारणिक अपने-आप अर्ध-निश्चितता सिद्ध नहीं करता; बाकी चिह्न जाँचें.

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रैंक और चिह्न-युग्म देखने के लिए चर बदलें

मुख्य विचार

यदि \(A=A^T\), तो वर्णक्रमीय प्रमेय \(A=QDQ^T\) देता है, और \(y=Q^Tx\) रखने पर \[x^TAx=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.\] अधिक सामान्य रूप से, अव्युत्क्रम्य चर-परिवर्तन सर्वांगसम मैट्रिक्स \(P^TAP\) देते हैं. वे स्वमान बदल सकते हैं, लेकिन धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य वर्गों की संख्याएँ सुरक्षित रखते हैं.

जड़त्व तथ्य

• रैंक विकर्ण रूप में अशून्य वर्ग गुणांकों की संख्या है.
• चिह्न-युग्म \((n_+,n_-)\) धनात्मक और ऋणात्मक गुणांक गिनता है.
• शून्यता शून्य गुणांकों को गिनती है.
• सिल्वेस्टर का जड़त्व नियम कहता है कि ये संख्याएँ अव्युत्क्रम्य सर्वांगसमता के अंतर्गत अपरिवर्तित रहती हैं.
• समरूपता \(P^{-1}AP\) स्वमानों को सुरक्षित रखती है; सर्वांगसमता \(P^TAP\) सममित रूपों के लिए जड़त्व को सुरक्षित रखती है.

हल किया हुआ उदाहरण

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वास्तविक द्विघात रूप अपना सममित द्विरेखीय रूप निर्धारित करता है

मुख्य विचार

जब \(\mathbb{R}\) पर किसी सममित द्विरेखीय रूप के लिए \(q(x)=B(x,x)\) हो, तो ध्रुवीकरण सर्वसमिका है \[B(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(q(x+y)-q(x)-q(y)\bigr).\] इसलिए विकर्ण डेटा \(q(x)\) पूरा सममित द्विरेखीय रूप निर्धारित करता है.

ध्रुवीकरण टिप्पणियाँ

• धनात्मक निश्चित सममित \(B\) एक आंतरिक गुणनफल है.
• मेल खाने वाला मानक \(\|x\|=\sqrt{B(x,x)}=\sqrt{q(x)}\) है.
• वास्तविक विषम-सममित रूप \(q(x)=B(x,x)\) में कुछ योगदान नहीं देता, क्योंकि \(B(x,x)=0\).
• ध्रुवीकरण सममित भाग वापस पाता है, छिपा हुआ विषम-सममित भाग नहीं.

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अधिकतर गलतियाँ मैट्रिक्स, चिह्नों या आधार-परिवर्तन को गड़बड़ा देती हैं

सामान्य भूलें

• मिश्र पद: \(xy\) का गुणांक दो सममित विकर्ण-बाह्य प्रविष्टियों में बाँटा जाता है.
• द्विरेखीय का अर्थ सममित नहीं: सममितता अतिरिक्त गुण है, परिभाषा का हिस्सा नहीं.
• अर्ध-निश्चित, निश्चित नहीं होता: अशून्य शून्य-दिशा निश्चितता रोकती है.
• स्वमानों के चिह्न के लिए सममितता चाहिए: \(x^TAx\) का वर्गीकरण सममित भाग से करें.
• सर्वांगसमता, समरूपता नहीं है: सर्वांगसमता जड़त्व सुरक्षित रखती है; समरूपता स्वमान सुरक्षित रखती है.
• विषम-सममित भाग विकर्ण पर मिट जाते हैं: वे \(q(x)=x^TAx\) को प्रभावित नहीं करते.

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अंतिम सारांश

• द्विरेखीय का अर्थ है प्रत्येक तर्क में अलग-अलग रैखिक.
• निर्देशांकों में, \(B(x,y)=x^TAy\).
• सममित द्विरेखीय रूप सममित मैट्रिक्सों से मेल खाते हैं.
• द्विघात रूप \(q(x)=B(x,x)\) या \(A=A^T\) के साथ \(x^TAx\) होता है.
• मिश्र गुणांक सममित विकर्ण-बाह्य प्रविष्टियों में बाँटे जाते हैं.
• धनात्मक निश्चित का अर्थ है हर अशून्य \(x\) के लिए \(q(x)>0\).
• अर्ध-निश्चित रूप अशून्य सदिशों पर शून्य हो सकते हैं.
• स्वमानों के चिह्न या सिल्वेस्टर कसौटी वास्तविक सममित रूपों का वर्गीकरण करते हैं.
• सर्वांगसमता चिह्न-युग्म और रैंक सुरक्षित रखती है; समरूपता स्वमान सुरक्षित रखती है.
• ध्रुवीकरण \(q\) से सममित द्विरेखीय रूप वापस पाता है.