Une forme bilinéaire est linéaire une variable à la fois

Idée clé

Pour des espaces vectoriels sur le même corps, une forme bilinéaire est une application à valeurs scalaires \(B:V\times V\to F\) telle que \(B(ax_1+bx_2,y)=aB(x_1,y)+bB(x_2,y)\) et \(B(x,ay_1+by_2)=aB(x,y_1)+bB(x,y_2)\). En coordonnées, toute forme bilinéaire sur \(F^n\) a la forme \(B(x,y)=x^TAy\).

Liste de reconnaissance

• Pas de puissances comme \(x_1^2\) dans le test de la première variable.
• Pas de longueurs comme \(\|y\|\), car les normes ne sont pas linéaires.
• Les produits \(x_i y_j\) sont acceptables : chaque variable apparaît encore linéairement quand l’autre est fixée.
• Symétrique est une propriété séparée ; une forme bilinéaire peut être bilinéaire sans être symétrique.

Exemple corrigé

À vous

Les formes quadratiques s’obtiennent en évaluant deux fois une forme symétrique

Idée clé

Si \(B\) est symétrique, alors \(q(x)=B(x,x)\) est une forme quadratique. Réciproquement, sur les corps où \(2≠0\), une forme quadratique détermine sa forme bilinéaire symétrique par polarisation. En coordonnées réelles, écrivez \(q(x)=x^TAx\) avec \(A=A^T\).

Méthode matricielle

• Le coefficient de \(x_i^2\) est l’entrée diagonale \(a_{ii}\).
• Le coefficient de \(x_i x_j\) pour \(i≠ j\) est \(2a_{ij}\) lorsque \(A\) est symétrique.
• L’entrée hors diagonale est donc la moitié du coefficient du terme mixte.
• Seule la partie symétrique d’une matrice contribue à \(x^TAx\), car \(x^TSx=0\) pour \(S\) antisymétrique.

Exemple corrigé

À vous

La définitude se juge sur tous les vecteurs non nuls

Idée clé

Une forme quadratique est définie positive lorsqu’elle est strictement positive hors de zéro. Elle est semi-définie lorsqu’elle ne change jamais de signe mais peut s’annuler sur un vecteur non nul. Elle est indéfinie lorsqu’elle possède à la fois des directions positives et négatives.

Liste de classification

• Définie positive : \(q(x)>0\) pour tout \(x≠0\).
• Semi-définie positive : \(q(x)\ge0\) pour tout \(x\), avec au moins une direction nulle non nulle si elle n’est pas définie.
• Définie négative : \(q(x)<0\) pour tout \(x≠0\).
• Semi-définie négative : \(q(x)\le0\) pour tout \(x\), avec au moins une direction nulle non nulle si elle n’est pas définie.
• Indéfinie : certains vecteurs donnent à \(q\) une valeur positive et d’autres donnent à \(q\) une valeur négative.

Exemple corrigé

À vous

Utilisez les mineurs ou les valeurs propres au lieu de deviner les signes

Idée clé

Pour une matrice réelle symétrique, les signes des valeurs propres classent la forme quadratique. En dimension \(2\), la matrice \(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) est définie positive exactement lorsque \(a>0\) et \(ac-b^2>0\).

Critère de Sylvester

• Matrice symétrique définie positive : tous les mineurs principaux dominants sont positifs.
• Pour \(2\times2\) : \(a>0\) et \(\det A>0\).
• Si \(\det A<0\) en dimension \(2\), les valeurs propres ont des signes opposés, donc la forme est indéfinie.
• Un déterminant nul ne prouve pas à lui seul que la forme est semi-définie ; vérifiez les autres signes.

Exemple corrigé

À vous

Changer de variables révèle le rang et la signature

Idée clé

Si \(A=A^T\), le théorème spectral donne \(A=QDQ^T\), et avec \(y=Q^Tx\), \[x^TAx=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.\] Plus généralement, les changements de variables non singuliers donnent des matrices congruentes \(P^TAP\). Ils peuvent changer les valeurs propres, mais ils préservent le nombre de carrés positifs, négatifs et nuls.

Propriétés de l’inertie

• Le rang est le nombre de coefficients de carrés non nuls dans la forme diagonale.
• La signature \((n_+,n_-)\) compte les coefficients positifs et négatifs.
• La nullité compte les coefficients nuls.
• La loi d’inertie de Sylvester dit que ces nombres sont invariants par congruence non singulière.
• La similarité \(P^{-1}AP\) préserve les valeurs propres ; la congruence \(P^TAP\) préserve l’inertie pour les formes symétriques.

Exemple corrigé

À vous

Une forme quadratique réelle garde en mémoire sa forme bilinéaire symétrique

Idée clé

Lorsque \(q(x)=B(x,x)\) pour une forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbb{R}\), l’identité de polarisation est \[B(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(q(x+y)-q(x)-q(y)\bigr).\] Ainsi les données diagonales \(q(x)\) déterminent toute la forme bilinéaire symétrique.

Notes sur la polarisation

• Une forme \(B\) symétrique définie positive est un produit scalaire.
• La norme correspondante est \(\|x\|=\sqrt{B(x,x)}=\sqrt{q(x)}\).
• Une forme réelle antisymétrique ne contribue rien à \(q(x)=B(x,x)\), car \(B(x,x)=0\).
• La polarisation retrouve la partie symétrique, pas une partie antisymétrique cachée.

Exemple corrigé

À vous

La plupart des erreurs confondent les matrices, les signes ou les changements de base

Pièges courants

• Termes mixtes : le coefficient de \(xy\) est réparti entre deux entrées symétriques hors diagonale.
• Bilinéaire ne veut pas dire symétrique : la symétrie est une condition supplémentaire, pas une partie de la définition.
• Semi-définie ne veut pas dire définie : une direction nulle non nulle empêche le caractère défini.
• Les signes des valeurs propres exigent la symétrie : classez \(x^TAx\) à l’aide de la partie symétrique.
• La congruence n’est pas la similarité : la congruence préserve l’inertie ; la similarité préserve les valeurs propres.
• Les parties antisymétriques s’annulent sur la diagonale : elles n’affectent pas \(q(x)=x^TAx\).

Exemple corrigé

À vous

Récapitulatif final

• Bilinéaire signifie linéaire en chaque argument séparément.
• En coordonnées, \(B(x,y)=x^TAy\).
• Les formes bilinéaires symétriques correspondent aux matrices symétriques.
• Une forme quadratique est \(q(x)=B(x,x)\) ou \(x^TAx\) avec \(A=A^T\).
• Les coefficients mixtes sont répartis entre les entrées symétriques hors diagonale.
• Définie positive signifie \(q(x)>0\) pour tout \(x\) non nul.
• Les formes semi-définies peuvent s’annuler sur des vecteurs non nuls.
• Les signes des valeurs propres ou le critère de Sylvester classent les formes réelles symétriques.
• La congruence préserve la signature et le rang ; la similarité préserve les valeurs propres.
• La polarisation retrouve la forme bilinéaire symétrique à partir de \(q\).