Bentuk bilinear linear satu slot pada satu waktu

Ide utama

Untuk ruang vektor atas field yang sama, bentuk bilinear adalah pemetaan bernilai skalar \(B:V\times V\to F\) sehingga \(B(ax_1+bx_2,y)=aB(x_1,y)+bB(x_2,y)\) dan \(B(x,ay_1+by_2)=aB(x,y_1)+bB(x,y_2)\). Dalam koordinat, setiap bentuk bilinear pada \(F^n\) berbentuk \(B(x,y)=x^TAy\).

Daftar cek pengenalan

• Tidak ada pangkat seperti \(x_1^2\) dalam uji slot pertama.
• Tidak ada panjang seperti \(\|y\|\), karena norma tidak linear.
• Produk \(x_i y_j\) boleh: setiap slot tetap muncul secara linear saat slot lainnya tetap.
• Simetris adalah sifat terpisah; bentuk bilinear dapat bilinear tanpa simetris.

Contoh dikerjakan

Coba

Bentuk kuadratik berasal dari mengevaluasi bentuk simetris dua kali

Ide utama

Jika \(B\) simetris, maka \(q(x)=B(x,x)\) adalah bentuk kuadratik. Sebaliknya, atas field dengan \(2≠0\), bentuk kuadratik menentukan bentuk bilinear simetrisnya melalui polarisasi. Dalam koordinat real, tulis \(q(x)=x^TAx\) dengan \(A=A^T\).

Resep matriks

• Koefisien \(x_i^2\) adalah entri diagonal \(a_{ii}\).
• Koefisien \(x_i x_j\) untuk \(i≠ j\) adalah \(2a_{ij}\) saat \(A\) simetris.
• Jadi entri luar diagonal adalah setengah dari koefisien suku campuran.
• Hanya bagian simetris dari matriks yang berkontribusi pada \(x^TAx\), karena \(x^TSx=0\) untuk \(S\) antisimetris.

Contoh dikerjakan

Coba

Kedefinitan membahas nilai pada semua vektor tak nol

Ide utama

Bentuk kuadratik definit positif ketika nilainya tegas positif jauh dari nol. Bentuknya semidefinit ketika tidak pernah berubah tanda tetapi dapat bernilai nol pada vektor tak nol. Bentuknya indefinit ketika memiliki arah positif dan negatif.

Daftar cek klasifikasi

• Definit positif: \(q(x)>0\) untuk semua \(x≠0\).
• Semidefinit positif: \(q(x)\ge0\) untuk semua \(x\), dengan setidaknya satu arah nol tak nol jika tidak definit.
• Definit negatif: \(q(x)<0\) untuk semua \(x≠0\).
• Semidefinit negatif: \(q(x)\le0\) untuk semua \(x\), dengan setidaknya satu arah nol tak nol jika tidak definit.
• Indefinit: beberapa vektor membuat \(q\) positif dan beberapa membuat \(q\) negatif.

Contoh dikerjakan

Coba

Gunakan minor atau nilai eigen alih-alih menebak tanda

Ide utama

Untuk matriks simetris real, tanda nilai eigen mengklasifikasikan bentuk kuadratik. Dalam dimensi \(2\), matriks \(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) definit positif tepat ketika \(a>0\) dan \(ac-b^2>0\).

Kriteria Sylvester

• Matriks simetris definit positif: semua minor utama terdepan positif.
• Untuk \(2\times2\): \(a>0\) dan \(\det A>0\).
• Jika \(\det A<0\) dalam dimensi \(2\), nilai eigen memiliki tanda berlawanan, jadi bentuknya indefinit.
• Determinan nol tidak dengan sendirinya membuktikan semidefinit; periksa tanda yang tersisa.

Contoh dikerjakan

Coba

Ubah variabel untuk melihat rank dan signature

Ide utama

Jika \(A=A^T\), teorema spektral memberi \(A=QDQ^T\), dan dengan \(y=Q^Tx\), \[x^TAx=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.\] Secara lebih umum, perubahan variabel nonsingular memberi matriks kongruen \(P^TAP\). Perubahan ini dapat mengubah nilai eigen, tetapi mempertahankan jumlah kuadrat positif, negatif, dan nol.

Fakta inersia

• Rank adalah jumlah koefisien kuadrat tak nol dalam bentuk diagonal.
• Signature \((n_+,n_-)\) menghitung koefisien positif dan negatif.
• Nulitas menghitung koefisien nol.
• Hukum inersia Sylvester menyatakan bahwa hitungan ini invarian di bawah kongruensi nonsingular.
• Similaritas \(P^{-1}AP\) mempertahankan nilai eigen; kongruensi \(P^TAP\) mempertahankan inersia untuk bentuk simetris.

Contoh dikerjakan

Coba

Bentuk kuadratik real mengingat bentuk bilinear simetrisnya

Ide utama

Ketika \(q(x)=B(x,x)\) untuk bentuk bilinear simetris atas \(\mathbb{R}\), identitas polarisasinya adalah \[B(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(q(x+y)-q(x)-q(y)\bigr).\] Jadi data diagonal \(q(x)\) menentukan seluruh bentuk bilinear simetris.

Catatan polarisasi

• \(B\) simetris definit positif adalah inner product.
• Norma yang cocok adalah \(\|x\|=\sqrt{B(x,x)}=\sqrt{q(x)}\).
• Bentuk antisimetris real tidak berkontribusi pada \(q(x)=B(x,x)\), karena \(B(x,x)=0\).
• Polarisasi memulihkan bagian simetris, bukan bagian antisimetris tersembunyi.

Contoh dikerjakan

Coba

Sebagian besar kesalahan mencampur matriks, tanda, atau perubahan basis

Kesalahan umum

• Suku campuran: koefisien \(xy\) dibagi ke dua entri simetris di luar diagonal.
• Bilinear tidak berarti simetris: simetri adalah tambahan, bukan bagian dari definisi.
• Semidefinit bukan definit: arah nol tak nol mencegah sifat definit.
• Tanda nilai eigen memerlukan simetri: klasifikasikan \(x^TAx\) menggunakan bagian simetris.
• Kongruensi bukan similaritas: kongruensi mempertahankan inersia; similaritas mempertahankan nilai eigen.
• Bagian antisimetris lenyap pada diagonal: bagian itu tidak memengaruhi \(q(x)=x^TAx\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan akhir

• Bilinear berarti linear pada setiap argumen secara terpisah.
• Dalam koordinat, \(B(x,y)=x^TAy\).
• Bentuk bilinear simetris berkaitan dengan matriks simetris.
• Bentuk kuadratik adalah \(q(x)=B(x,x)\) atau \(x^TAx\) dengan \(A=A^T\).
• Koefisien campuran dibagi ke entri luar diagonal yang simetris.
• Definit positif berarti \(q(x)>0\) untuk setiap \(x\) tak nol.
• Bentuk semidefinit dapat bernilai nol pada vektor tak nol.
• Tanda nilai eigen atau kriteria Sylvester mengklasifikasikan bentuk simetris real.
• Kongruensi mempertahankan signature dan rank; similaritas mempertahankan nilai eigen.
• Polarisasi memulihkan bentuk bilinear simetris dari \(q\).