Uma forma bilinear é linear em um argumento por vez

Ideia-chave

Para espaços vetoriais sobre o mesmo corpo, uma forma bilinear é uma aplicação com valores escalares \(B:V\times V\to F\) tal que \(B(ax_1+bx_2,y)=aB(x_1,y)+bB(x_2,y)\) e \(B(x,ay_1+by_2)=aB(x,y_1)+bB(x,y_2)\). Em coordenadas, toda forma bilinear em \(F^n\) tem a forma \(B(x,y)=x^TAy\).

Lista de reconhecimento

• Nada de potências como \(x_1^2\) dentro do teste do primeiro argumento.
• Nada de comprimentos como \(\|y\|\), porque normas não são lineares.
• Produtos \(x_i y_j\) são aceitáveis: cada argumento ainda aparece linearmente quando o outro é fixado.
• Simetria é uma propriedade separada; uma forma bilinear pode ser bilinear sem ser simétrica.

Exemplo resolvido

Pratique

Formas quadráticas vêm de avaliar uma forma simétrica duas vezes

Ideia-chave

Se \(B\) é simétrica, então \(q(x)=B(x,x)\) é uma forma quadrática. Reciprocamente, sobre corpos em que \(2≠0\), uma forma quadrática determina sua forma bilinear simétrica por polarização. Em coordenadas reais, escreva \(q(x)=x^TAx\) com \(A=A^T\).

Receita matricial

• O coeficiente de \(x_i^2\) é a entrada diagonal \(a_{ii}\).
• O coeficiente de \(x_i x_j\) para \(i≠ j\) é \(2a_{ij}\) quando \(A\) é simétrica.
• Portanto, a entrada fora da diagonal é metade do coeficiente do termo misto.
• Apenas a parte simétrica de uma matriz contribui para \(x^TAx\), porque \(x^TSx=0\) para \(S\) antissimétrica.

Exemplo resolvido

Pratique

Definitude trata dos valores em todos os vetores não nulos

Ideia-chave

Uma forma quadrática é definida positiva quando é estritamente positiva fora de zero. Ela é semidefinida quando nunca troca de sinal, mas pode se anular em um vetor não nulo. Ela é indefinida quando tem direções positivas e negativas.

Lista de classificação

• Definida positiva: \(q(x)>0\) para todo \(x≠0\).
• Semidefinida positiva: \(q(x)\ge0\) para todo \(x\), com pelo menos uma direção nula não nula se não for definida.
• Definida negativa: \(q(x)<0\) para todo \(x≠0\).
• Semidefinida negativa: \(q(x)\le0\) para todo \(x\), com pelo menos uma direção nula não nula se não for definida.
• Indefinida: alguns vetores tornam \(q\) positiva e outros tornam \(q\) negativa.

Exemplo resolvido

Pratique

Use menores ou autovalores em vez de adivinhar sinais

Ideia-chave

Para uma matriz real simétrica, os sinais dos autovalores classificam a forma quadrática. Em dimensão \(2\), a matriz \(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) é definida positiva exatamente quando \(a>0\) e \(ac-b^2>0\).

Critério de Sylvester

• Matriz simétrica definida positiva: todos os menores principais iniciais são positivos.
• Para \(2\times2\): \(a>0\) e \(\det A>0\).
• Se \(\det A<0\) em dimensão \(2\), os autovalores têm sinais opostos, então a forma é indefinida.
• Um determinante zero não prova por si só semidefinitude; verifique os sinais restantes.

Exemplo resolvido

Pratique

Mude variáveis para ver posto e assinatura

Ideia-chave

Se \(A=A^T\), o teorema espectral dá \(A=QDQ^T\), e com \(y=Q^Tx\), \[x^TAx=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.\] Mais geralmente, mudanças de variáveis não singulares dão matrizes congruentes \(P^TAP\). Elas podem mudar os autovalores, mas preservam os números de quadrados positivos, negativos e nulos.

Fatos de inércia

• O posto é o número de coeficientes quadráticos não nulos na forma diagonal.
• A assinatura \((n_+,n_-)\) conta coeficientes positivos e negativos.
• A nulidade conta coeficientes nulos.
• A lei de inércia de Sylvester diz que essas contagens são invariantes sob congruência não singular.
• Semelhança \(P^{-1}AP\) preserva autovalores; congruência \(P^TAP\) preserva inércia para formas simétricas.

Exemplo resolvido

Pratique

Uma forma quadrática real lembra sua forma bilinear simétrica

Ideia-chave

Quando \(q(x)=B(x,x)\) para uma forma bilinear simétrica sobre \(\mathbb{R}\), a identidade de polarização é \[B(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(q(x+y)-q(x)-q(y)\bigr).\] Assim, os dados diagonais \(q(x)\) determinam toda a forma bilinear simétrica.

Notas de polarização

• Uma \(B\) simétrica definida positiva é um produto interno.
• A norma correspondente é \(\|x\|=\sqrt{B(x,x)}=\sqrt{q(x)}\).
• Uma forma real antissimétrica não contribui nada para \(q(x)=B(x,x)\), porque \(B(x,x)=0\).
• A polarização recupera a parte simétrica, não uma parte antissimétrica oculta.

Exemplo resolvido

Pratique

A maioria dos erros confunde matrizes, sinais ou mudança de base

Armadilhas comuns

• Termos mistos: o coeficiente de \(xy\) é dividido entre duas entradas simétricas fora da diagonal.
• Bilinear não é simétrica: simetria é extra, não parte da definição.
• Semidefinida não é definida: uma direção nula não nula impede a definitude.
• Sinais de autovalores exigem simetria: classifique \(x^TAx\) usando a parte simétrica.
• Congruência não é semelhança: congruência preserva inércia; semelhança preserva autovalores.
• Partes antissimétricas desaparecem na diagonal: elas não afetam \(q(x)=x^TAx\).

Exemplo resolvido

Pratique

Recapitulação final

• Bilinear significa linear em cada argumento separadamente.
• Em coordenadas, \(B(x,y)=x^TAy\).
• Formas bilineares simétricas correspondem a matrizes simétricas.
• Uma forma quadrática é \(q(x)=B(x,x)\) ou \(x^TAx\) com \(A=A^T\).
• Coeficientes mistos são divididos entre entradas simétricas fora da diagonal.
• Definida positiva significa \(q(x)>0\) para todo \(x\) não nulo.
• Formas semidefinidas podem se anular em vetores não nulos.
• Sinais de autovalores ou o critério de Sylvester classificam formas reais simétricas.
• Congruência preserva assinatura e posto; semelhança preserva autovalores.
• A polarização recupera a forma bilinear simétrica a partir de \(q\).