Ein Jordanblock ist ein Eigenwert plus eine nilpotente Verschiebung

Kernidee

Ein Jordanblock der Größe \(k\) ist \(J_k(\lambda)=\lambda I+N\), wobei \(N\) direkt oberhalb der Diagonale \(1\) hat. Der nilpotente Anteil erfüllt \(N^k=0\), aber \(N^{k-1}≠0\). Ein nichttrivialer Block, also \(k>1\), ist das grundlegende Hindernis für Diagonalisierung.

Erkennungs-Prüfenliste

• Diagonaleinträge geben den Eigenwert \(\lambda\), wiederholt \(k\)-mal.
• Die \(1\)-Einträge auf der oberen Nebendiagonale erzeugen die Kettenrelation.
• \((J_k(\lambda)-\lambda I)^k=0\).
• Ein einzelner Block trägt genau eine gewöhnliche Eigenvektorrichtung bei.
• Für einen nichttrivialen \(2\times2\)-Block hat \(J-\lambda I\) Rang \(1\) und Kerndimension \(1\).
• Ein Block der Größe \(1\) ist bereits diagonal.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Eine Kette erklärt, wo verallgemeinerte Eigenvektoren sitzen

Kernidee

Sei \(N=A-\lambda I\). Eine Kette der Länge \(3\), \(v_1,v_2,v_3\), erfüllt \(Nv_1=0\), \(Nv_2=v_1\) und \(Nv_3=v_2\). In der geordneten Basis \((v_1,v_2,v_3)\) hat die Einschränkung von \(A\) einen Jordanblock \(J_3(\lambda)\).

Kettenrezept

• Beginne mit einem gewöhnlichen Eigenvektor \(v_1\in\ker N\).
• Finde \(v_2\) mit \(Nv_2=v_1\), wenn eine Kette der Länge \(2\) existiert.
• Finde \(v_3\) mit \(Nv_3=v_2\) für eine Kette der Länge \(3\).
• Der oberste Vektor \(v_k\) wird durch \(N^k\) auf null gebracht, aber nicht durch \(N^{k-1}\).
• Jede Kette trägt einen Jordanblock bei.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Blockanzahlen trennen algebraische von geometrischer Vielfachheit

Kernidee

Für einen festen Eigenwert \(\lambda\) ist die algebraische Vielfachheit die Gesamtgröße aller \(\lambda\)-Blöcke. Die geometrische Vielfachheit ist \(\dim\ker(A-\lambda I)\); sie ist gleich der Anzahl der \(\lambda\)-Blöcke, weil jeder Block eine Eigenvektorrichtung beiträgt.

Fakten zu Vielfachheiten

• Ein Block der Größe \(3\): algebraische Vielfachheit \(3\), geometrische Vielfachheit \(1\).
• Blöcke der Größen \(2\) und \(1\): algebraische Vielfachheit \(3\), geometrische Vielfachheit \(2\).
• Drei Blöcke der Größe \(1\): algebraische Vielfachheit \(3\), geometrische Vielfachheit \(3\), also ist der \(\lambda\)-Anteil diagonal.
• Für jeden Eigenwert erfordert Diagonalisierbarkeit, dass die geometrische Vielfachheit der algebraischen Vielfachheit entspricht.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Das Minimalpolynom erkennt den größten Block

Kernidee

Wenn der größte Jordanblock zu \(\lambda\) die Größe \(s\) hat, enthält \(m_A(X)\) den Faktor \((X-\lambda)^s\). Das charakteristische Polynom zählt die gesamte Blockgröße; das Minimalpolynom speichert für jeden Eigenwert die größte Blockgröße.

Regeln zum Minimalpolynom

• Ein einzelner \(3\times3\)-Block zu \(\lambda\) hat Minimalpolynom \((X-\lambda)^3\).
• Die Skalarmatrix \(\lambda I\) hat Minimalpolynom \(X-\lambda\).
• Wenn das Minimalpolynom keinen mehrfachen Faktor hat und in Linearfaktoren zerfällt, hat jeder Block Größe \(1\).
• Mehrfache Faktoren in \(m_A\) zeigen nichttriviale Jordanblöcke an.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Verallgemeinerte Eigenräume sind stabile Kerne von Potenzen

Kernidee

Der verallgemeinerte Eigenraum zu \(\lambda\) ist der stabilisierte Kern der Potenzen von \(N=A-\lambda I\): \(\ker N\subseteq\ker N^2\subseteq\cdots\). In endlicher Dimension stabilisiert sich diese Kette, und der stabile Raum enthält alle Vektoren in den Jordan-Ketten zu \(\lambda\).

Kernstufen

• \(\ker N\) ist der gewöhnliche Eigenraum.
• \(\ker N^2\) fügt Vektoren in Kettenhöhe höchstens \(2\) hinzu.
• \(\ker N^k\) fügt Vektoren in Kettenhöhe höchstens \(k\) hinzu.
• Für einen festen Eigenwert ist die stabilisierte Dimension gleich der algebraischen Vielfachheit.
• Verschiedene Eigenwerte liefern verallgemeinerte Eigenräume, deren direkte Summe der ganze Raum ist, wenn das charakteristische Polynom zerfällt.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Nilpotente Blöcke machen Spur, Determinante und Potenzen einfach

Kernidee

Ein nilpotenter Jordanblock ist \(J_k(0)\). Sein einziger Eigenwert ist \(0\), und sein Nilpotenzindex ist \(k\). Allgemeiner sind Jordanmatrizen Dreiecksmatrizen, sodass Spur und Determinante aus den diagonalen Eigenwerten kommen, gezählt mit algebraischer Vielfachheit.

Invarianten-Schnellchecks

• Ein nilpotenter Block der Größe \(k\) erfüllt \(N^k=0\) und \(N^{k-1}≠0\).
• Der Nilpotenzindex einer nilpotenten Matrix ist die größte nilpotente Blockgröße.
• Die Spur einer Jordanmatrix ist die Summe der diagonalen Eigenwerte.
• Die Determinante einer Jordanmatrix ist das Produkt der diagonalen Eigenwerte.
• Ein Block der Größe \(3\) mit Eigenwert \(\lambda\) hat Spur \(3\lambda\).

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Die meisten Fehler verwechseln Blöcke, Körper und Diagonalisierbarkeit

Häufige Fallen

• Algebraisch gegenüber geometrisch: Addiere Blockgrößen für algebraische Vielfachheit, zähle Blöcke für geometrische Vielfachheit.
• Größter gegenüber gesamt: Das Minimalpolynom sieht den größten Block, nicht die Summe der Blockgrößen.
• Verallgemeinert gegenüber gewöhnlich: \(Nv=0\) ist gewöhnlich; \(N^kv=0\) für ein größeres \(k\) ist verallgemeinert.
• Diagonalisierbar: Jeder Block muss Größe \(1\) haben; ein einziger Block der Größe \(2\) reicht zum Scheitern.
• Körper: Die vollständige Jordan-Normalform kann Arbeit über \(\mathbb{C}\) erfordern, wenn Eigenwerte nicht im ursprünglichen Körper liegen.
• Orthogonalität: Die Jordan-Normalform ist eine Normalform bezüglich Ähnlichkeit, normalerweise keine orthogonale Diagonalisierung.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Abschlussüberblick

• Ein verallgemeinerter Eigenvektor erfüllt \((A-\lambda I)^k v=0\) für ein \(k\ge1\).
• Ein Jordanblock ist \(\lambda I\) plus eine nilpotente Verschiebung.
• Eine Jordan-Kette der Länge \(k\) erzeugt einen Block der Größe \(k\).
• Algebraische Vielfachheit ist die gesamte Blockgröße.
• Geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der Blöcke.
• Die größte Blockgröße ist der Exponent im Minimalpolynom.
• Diagonalisierbar bedeutet, dass jeder Jordanblock Größe \(1\) hat.
• Der verallgemeinerte Eigenraum ist der stabilisierte Kern der Potenzen von \(A-\lambda I\).
• Der Nilpotenzindex ist die größte nilpotente Blockgröße.
• Spur und Determinante einer Jordanmatrix kommen aus den Diagonaleinträgen.