Жорданов блок - это одно собственное значение плюс нильпотентный сдвиг

Ключевая идея

Жорданов блок размера \(k\) имеет вид \(J_k(\lambda)=\lambda I+N\), где \(N\) имеет \(1\) прямо над диагональю. Нильпотентная часть удовлетворяет \(N^k=0\), но \(N^{k-1}≠0\). Нетривиальный блок, то есть \(k>1\), является базовым препятствием к диагонализации.

Контрольный список распознавания

• Диагональные элементы дают собственное значение \(\lambda\), повторенное \(k\) раз.
• Единицы на наддиагонали создают отношение цепочки.
• \((J_k(\lambda)-\lambda I)^k=0\).
• Один блок дает ровно одно направление обычного собственного вектора.
• Блок размера \(1\) уже диагонален.

Разобранный пример

Попробуйте

Цепочка объясняет, где находятся обобщенные собственные векторы

Ключевая идея

Пусть \(N=A-\lambda I\). Цепочка длины \(3\) из \(v_1,v_2,v_3\) удовлетворяет \(Nv_1=0\), \(Nv_2=v_1\) и \(Nv_3=v_2\). В упорядоченном базисе \((v_1,v_2,v_3)\) ограничение \(A\) имеет один жорданов блок \(J_3(\lambda)\).

Рецепт цепочки

• Начните с обычного собственного вектора \(v_1\in\ker N\).
• Найдите \(v_2\) с \(Nv_2=v_1\), когда существует цепочка длины \(2\).
• Найдите \(v_3\) с \(Nv_3=v_2\) для цепочки длины \(3\).
• Верхний вектор \(v_k\) зануляется под действием \(N^k\), но не под действием \(N^{k-1}\).
• Каждая цепочка дает один жорданов блок.

Разобранный пример

Попробуйте

Подсчет блоков отделяет алгебраическую кратность от геометрической

Ключевая идея

Для фиксированного собственного значения \(\lambda\) алгебраическая кратность равна суммарному размеру всех \(\lambda\)-блоков. Геометрическая кратность равна \(\dim\ker(A-\lambda I)\), что совпадает с числом \(\lambda\)-блоков, потому что каждый блок дает одно направление собственного вектора.

Факты о кратностях

• Один блок размера \(3\): алгебраическая кратность \(3\), геометрическая кратность \(1\).
• Блоки размеров \(2\) и \(1\): алгебраическая кратность \(3\), геометрическая кратность \(2\).
• Три блока размера \(1\): алгебраическая кратность \(3\), геометрическая кратность \(3\), поэтому \(\lambda\)-часть диагональна.
• Для каждого собственного значения диагонализируемость требует равенства геометрической и алгебраической кратностей.

Разобранный пример

Попробуйте

Минимальный многочлен видит самый большой блок

Ключевая идея

Если самый большой жорданов блок для \(\lambda\) имеет размер \(s\), то \(m_A(X)\) содержит множитель \((X-\lambda)^s\). Характеристический многочлен считает суммарный размер блоков; минимальный многочлен записывает самый большой размер блока для каждого собственного значения.

Правила минимального многочлена

• Один блок \(3\times3\) для \(\lambda\) имеет минимальный многочлен \((X-\lambda)^3\).
• Скалярная матрица \(\lambda I\) имеет минимальный многочлен \(X-\lambda\).
• Если минимальный многочлен не имеет кратных множителей и раскладывается на линейные множители, каждый блок имеет размер \(1\).
• Кратные множители в \(m_A\) выявляют нетривиальные жордановы блоки.

Разобранный пример

Попробуйте

Обобщенные собственные подпространства - это стабилизирующиеся ядра степеней

Ключевая идея

Обобщенное собственное подпространство для \(\lambda\) - это предельное ядро степеней \(N=A-\lambda I\): \(\ker N\subseteq\ker N^2\subseteq\cdots\). В конечной размерности эта цепочка стабилизируется, а стабильное пространство содержит все векторы в цепочках Жордана для \(\lambda\).

Лестница ядер

• \(\ker N\) - обычное собственное подпространство.
• \(\ker N^2\) добавляет векторы высоты не больше \(2\) в цепочках.
• \(\ker N^k\) добавляет векторы высоты не больше \(k\).
• Для фиксированного собственного значения стабилизированная размерность равна алгебраической кратности.
• Разные собственные значения дают обобщенные собственные подпространства, прямая сумма которых является всем пространством, когда характеристический многочлен раскладывается.

Разобранный пример

Попробуйте

Нильпотентные блоки упрощают след, определитель и степени

Ключевая идея

Нильпотентный жорданов блок - это \(J_k(0)\). Его единственное собственное значение равно \(0\), а его индекс нильпотентности равен \(k\). В более общем случае жордановы матрицы треугольные, поэтому след и определитель берутся из диагональных собственных значений с учетом алгебраической кратности.

Быстрые инварианты

• Нильпотентный блок размера \(k\) удовлетворяет \(N^k=0\) и \(N^{k-1}≠0\).
• Индекс нильпотентности нильпотентной матрицы равен размеру самого большого нильпотентного блока.
• След жордановой матрицы равен сумме диагональных собственных значений.
• Определитель жордановой матрицы равен произведению диагональных собственных значений.
• Блок размера \(3\) с собственным значением \(\lambda\) имеет след \(3\lambda\).

Разобранный пример

Попробуйте

Большинство ошибок смешивает блоки, поля и диагонализируемость

Типичные ошибки

• Алгебраическая против геометрической: складывайте размеры блоков для алгебраической кратности, считайте блоки для геометрической кратности.
• Самый большой против суммарного: минимальный многочлен видит самый большой блок, а не сумму размеров блоков.
• Обобщенный против обычного: \(Nv=0\) - обычный случай; \(N^kv=0\) для некоторого большего \(k\) - обобщенный.
• Диагонализируема: каждый блок должен иметь размер \(1\); одного блока размера \(2\) достаточно для неудачи.
• Поле: полная форма Жордана может требовать работы над \(\mathbb{C}\), когда собственных значений нет в исходном поле.
• Ортогональность: форма Жордана - нормальная форма с точностью до подобия, а обычно не ортогональная диагонализация.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоговое повторение

• Обобщенный собственный вектор удовлетворяет \((A-\lambda I)^k v=0\) для некоторого \(k\ge1\).
• Жорданов блок - это \(\lambda I\) плюс нильпотентный сдвиг.
• Цепочка Жордана длины \(k\) дает один блок размера \(k\).
• Алгебраическая кратность - суммарный размер блоков.
• Геометрическая кратность - число блоков.
• Размер самого большого блока - это показатель в минимальном многочлене.
• Диагонализируемость означает, что каждый жорданов блок имеет размер \(1\).
• Обобщенное собственное подпространство - стабилизированное ядро степеней \(A-\lambda I\).
• Индекс нильпотентности - размер самого большого нильпотентного блока.
• След и определитель жордановой матрицы берутся из диагональных элементов.