Blok Jordan adalah satu nilai eigen ditambah satu pergeseran nilpoten

Ide utama

Blok Jordan berukuran \(k\) adalah \(J_k(\lambda)=\lambda I+N\), dengan \(N\) memiliki \(1\) tepat di atas diagonal. Bagian nilpoten memenuhi \(N^k=0\) tetapi \(N^{k-1}≠0\). Blok nontrivial, yaitu \(k>1\), adalah penghalang dasar bagi diagonalisasi.

Daftar cek pengenalan

• Entri diagonal memberi nilai eigen \(\lambda\), diulang \(k\) kali.
• Entri \(1\) pada superdiagonal menciptakan relasi rantai.
• \((J_k(\lambda)-\lambda I)^k=0\).
• Satu blok menyumbang tepat satu arah vektor eigen biasa.
• Blok berukuran \(1\) sudah diagonal.

Contoh dikerjakan

Coba

Rantai menjelaskan posisi vektor eigen tergeneralisasi

Ide utama

Misalkan \(N=A-\lambda I\). Rantai panjang \(3\), yaitu \(v_1,v_2,v_3\), memenuhi \(Nv_1=0\), \(Nv_2=v_1\), dan \(Nv_3=v_2\). Dalam basis berurutan \((v_1,v_2,v_3)\), restriksi \(A\) memiliki satu blok Jordan \(J_3(\lambda)\).

Resep rantai

• Mulai dengan vektor eigen biasa \(v_1\in\ker N\).
• Cari \(v_2\) dengan \(Nv_2=v_1\) saat rantai panjang \(2\) ada.
• Cari \(v_3\) dengan \(Nv_3=v_2\) untuk rantai panjang \(3\).
• Vektor puncak \(v_k\) dimatikan oleh \(N^k\), tetapi tidak oleh \(N^{k-1}\).
• Setiap rantai menyumbang satu blok Jordan.

Contoh dikerjakan

Coba

Jumlah blok memisahkan multiplisitas aljabar dari geometrik

Ide utama

Untuk nilai eigen tetap \(\lambda\), multiplisitas aljabar adalah ukuran total semua blok untuk \(\lambda\). Multiplisitas geometrik adalah \(\dim\ker(A-\lambda I)\), yang sama dengan jumlah blok untuk \(\lambda\) karena setiap blok menyumbang satu arah vektor eigen.

Fakta multiplisitas

• Satu blok berukuran \(3\): multiplisitas aljabar \(3\), multiplisitas geometrik \(1\).
• Blok berukuran \(2\) dan \(1\): multiplisitas aljabar \(3\), multiplisitas geometrik \(2\).
• Tiga blok berukuran \(1\): multiplisitas aljabar \(3\), multiplisitas geometrik \(3\), sehingga bagian \(\lambda\) bersifat diagonal.
• Untuk setiap nilai eigen, keterdiagonalisasian memerlukan multiplisitas geometrik sama dengan multiplisitas aljabar.

Contoh dikerjakan

Coba

Polinomial minimal melihat blok terbesar

Ide utama

Jika blok Jordan terbesar untuk \(\lambda\) berukuran \(s\), maka \(m_A(X)\) memuat faktor \((X-\lambda)^s\). Polinomial karakteristik menghitung ukuran total blok; polinomial minimal mencatat ukuran blok terbesar untuk setiap nilai eigen.

Aturan polinomial minimal

• Satu blok \(3\times3\) untuk \(\lambda\) memiliki polinomial minimal \((X-\lambda)^3\).
• Matriks skalar \(\lambda I\) memiliki polinomial minimal \(X-\lambda\).
• Jika polinomial minimal tidak memiliki faktor berulang dan terpecah menjadi faktor linear, setiap blok berukuran \(1\).
• Faktor berulang dalam \(m_A\) menunjukkan blok Jordan nontrivial.

Contoh dikerjakan

Coba

Ruang eigen tergeneralisasi adalah kernel stabil dari pangkat

Ide utama

Ruang eigen tergeneralisasi untuk \(\lambda\) adalah kernel akhir dari pangkat-pangkat \(N=A-\lambda I\): \(\ker N\subseteq\ker N^2\subseteq\cdots\). Dalam dimensi berhingga, rantai ini stabil, dan ruang stabil itu memuat semua vektor dalam rantai Jordan untuk \(\lambda\).

Tangga kernel

• \(\ker N\) adalah ruang eigen biasa.
• \(\ker N^2\) menambahkan vektor pada tinggi paling banyak \(2\) dalam rantai.
• \(\ker N^k\) menambahkan vektor pada tinggi paling banyak \(k\).
• Untuk nilai eigen tetap, dimensi yang sudah stabil sama dengan multiplisitas aljabar.
• Nilai eigen berbeda memberi ruang eigen tergeneralisasi yang jumlah langsungnya adalah seluruh ruang ketika polinomial karakteristik terpecah.

Contoh dikerjakan

Coba

Blok nilpoten membuat trace, determinan, dan pangkat mudah

Ide utama

Blok Jordan nilpoten adalah \(J_k(0)\). Satu-satunya nilai eigennya adalah \(0\), dan indeks nilpotensinya adalah \(k\). Secara lebih umum, matriks Jordan berbentuk segitiga, sehingga trace dan determinan berasal dari nilai eigen diagonal, dihitung dengan multiplisitas aljabar.

Pintasan invarian

• Blok nilpoten berukuran \(k\) memenuhi \(N^k=0\) dan \(N^{k-1}≠0\).
• Indeks nilpotensi matriks nilpoten adalah ukuran blok nilpoten terbesar.
• Trace matriks Jordan adalah jumlah nilai eigen diagonal.
• Determinan matriks Jordan adalah hasil kali nilai eigen diagonal.
• Blok berukuran \(3\) dengan nilai eigen \(\lambda\) memiliki trace \(3\lambda\).

Contoh dikerjakan

Coba

Sebagian besar kesalahan mencampur blok, medan, dan keterdiagonalisasian

Jebakan umum

• Aljabar versus geometrik: jumlahkan ukuran blok untuk multiplisitas aljabar, hitung blok untuk multiplisitas geometrik.
• Terbesar versus total: polinomial minimal melihat blok terbesar, bukan jumlah ukuran blok.
• Tergeneralisasi versus biasa: \(Nv=0\) bersifat biasa; \(N^kv=0\) untuk suatu \(k\) yang lebih besar bersifat tergeneralisasi.
• Dapat didiagonalisasi: setiap blok harus berukuran \(1\); satu blok berukuran \(2\) sudah cukup untuk gagal.
• Medan: bentuk Jordan penuh mungkin memerlukan bekerja atas \(\mathbb{C}\) ketika nilai eigen tidak berada dalam medan asal.
• Ortogonalitas: bentuk Jordan adalah bentuk normal similaritas, biasanya bukan diagonalisasi ortogonal.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan akhir

• Vektor eigen tergeneralisasi memenuhi \((A-\lambda I)^k v=0\) untuk suatu \(k\ge1\).
• Blok Jordan adalah \(\lambda I\) ditambah pergeseran nilpoten.
• Rantai Jordan panjang \(k\) menghasilkan satu blok berukuran \(k\).
• Multiplisitas aljabar adalah ukuran total blok.
• Multiplisitas geometrik adalah jumlah blok.
• Ukuran blok terbesar adalah eksponen dalam polinomial minimal.
• Dapat didiagonalisasi berarti setiap blok Jordan berukuran \(1\).
• Ruang eigen tergeneralisasi adalah kernel stabil dari pangkat \(A-\lambda I\).
• Indeks nilpotensi adalah ukuran blok nilpoten terbesar.
• Trace dan determinan matriks Jordan berasal dari entri diagonal.