Un bloque de Jordan es un valor propio más un desplazamiento nilpotente

Idea clave

Un bloque de Jordan de tamaño \(k\) es \(J_k(\lambda)=\lambda I+N\), donde \(N\) tiene \(1\) justo encima de la diagonal. La parte nilpotente satisface \(N^k=0\) pero \(N^{k-1}≠0\). Un bloque no trivial, es decir \(k>1\), es la obstrucción básica para diagonalizar.

Lista de reconocimiento

• Las entradas diagonales dan el valor propio \(\lambda\), repetido \(k\) veces.
• Las entradas \(1\) de la superdiagonal crean la relación de cadena.
• \((J_k(\lambda)-\lambda I)^k=0\).
• Un solo bloque aporta exactamente una dirección de vector propio ordinario.
• Para un bloque no trivial de \(2\times2\), \(J-\lambda I\) tiene rango \(1\) y dimensión del núcleo \(1\).
• Un bloque de tamaño \(1\) ya es diagonal.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Una cadena explica dónde se ubican los vectores propios generalizados

Idea clave

Sea \(N=A-\lambda I\). Una cadena de longitud \(3\) \(v_1,v_2,v_3\) satisface \(Nv_1=0\), \(Nv_2=v_1\) y \(Nv_3=v_2\). En la base ordenada \((v_1,v_2,v_3)\), la restricción de \(A\) tiene un bloque de Jordan \(J_3(\lambda)\).

Procedimiento para cadenas

• Empieza con un vector propio ordinario \(v_1\in\ker N\).
• Encuentra \(v_2\) con \(Nv_2=v_1\) cuando exista una cadena de longitud \(2\).
• Encuentra \(v_3\) con \(Nv_3=v_2\) para una cadena de longitud \(3\).
• El vector superior \(v_k\) es anulado por \(N^k\), pero no por \(N^{k-1}\).
• Cada cadena aporta un bloque de Jordan.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

El conteo de bloques separa multiplicidad algebraica y geométrica

Idea clave

Para un valor propio fijo \(\lambda\), la multiplicidad algebraica es el tamaño total de todos los bloques de \(\lambda\). La multiplicidad geométrica es \(\dim\ker(A-\lambda I)\), que coincide con el número de bloques de \(\lambda\) porque cada bloque aporta una dirección de vector propio.

Hechos sobre multiplicidades

• Un bloque de tamaño \(3\): multiplicidad algebraica \(3\), multiplicidad geométrica \(1\).
• Bloques de tamaños \(2\) y \(1\): multiplicidad algebraica \(3\), multiplicidad geométrica \(2\).
• Tres bloques de tamaño \(1\): multiplicidad algebraica \(3\), multiplicidad geométrica \(3\), así que la parte de \(\lambda\) es diagonal.
• Para cada valor propio, la diagonalizabilidad requiere que la multiplicidad geométrica sea igual a la algebraica.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

El polinomio mínimo ve el bloque más grande

Idea clave

Si el bloque de Jordan más grande para \(\lambda\) tiene tamaño \(s\), entonces \(m_A(X)\) contiene el factor \((X-\lambda)^s\). El polinomio característico cuenta el tamaño total de los bloques; el polinomio mínimo registra el mayor tamaño de bloque para cada valor propio.

Reglas del polinomio mínimo

• Un solo bloque \(3\times3\) para \(\lambda\) tiene polinomio mínimo \((X-\lambda)^3\).
• La matriz escalar \(\lambda I\) tiene polinomio mínimo \(X-\lambda\).
• Si el polinomio mínimo no tiene factores repetidos y se descompone en factores lineales, cada bloque tiene tamaño \(1\).
• Los factores repetidos en \(m_A\) identifican bloques de Jordan no triviales.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Los espacios propios generalizados son núcleos estables de potencias

Idea clave

El espacio propio generalizado para \(\lambda\) es el núcleo eventual de potencias de \(N=A-\lambda I\): \(\ker N\subseteq\ker N^2\subseteq\cdots\). En dimensión finita, esta cadena se estabiliza, y el espacio estable contiene todos los vectores en las cadenas de Jordan para \(\lambda\).

Escalera de núcleos

• \(\ker N\) es el espacio propio ordinario.
• \(\ker N^2\) añade vectores de altura como máximo \(2\) en las cadenas.
• \(\ker N^k\) añade vectores de altura como máximo \(k\).
• Para un valor propio fijo, la dimensión estabilizada es igual a la multiplicidad algebraica.
• Los distintos valores propios dan espacios propios generalizados cuya suma directa es todo el espacio cuando el polinomio característico se descompone.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Los bloques nilpotentes facilitan traza, determinante y potencias

Idea clave

Un bloque de Jordan nilpotente es \(J_k(0)\). Su único valor propio es \(0\), y su índice de nilpotencia es \(k\). Más generalmente, las matrices de Jordan son triangulares, así que la traza y el determinante vienen de los valores propios diagonales, contados con multiplicidad algebraica.

Atajos de invariantes

• Un bloque nilpotente de tamaño \(k\) satisface \(N^k=0\) y \(N^{k-1}≠0\).
• El índice de nilpotencia de una matriz nilpotente es el mayor tamaño de bloque nilpotente.
• La traza de una matriz de Jordan es la suma de los valores propios diagonales.
• El determinante de una matriz de Jordan es el producto de los valores propios diagonales.
• Un bloque de tamaño \(3\) con valor propio \(\lambda\) tiene traza \(3\lambda\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

La mayoría de los errores confunden bloques, campos y diagonalizabilidad

Errores comunes

• Algebraica frente a geométrica: suma tamaños de bloque para la multiplicidad algebraica; cuenta bloques para la multiplicidad geométrica.
• Mayor frente a total: el polinomio mínimo ve el bloque más grande, no la suma de tamaños de bloque.
• Generalizado frente a ordinario: \(Nv=0\) es ordinario; \(N^kv=0\) para algún \(k\) mayor es generalizado.
• Diagonalizable: cada bloque debe tener tamaño \(1\); un solo bloque de tamaño \(2\) basta para fallar.
• Campo: la forma de Jordan completa puede requerir trabajar sobre \(\mathbb{C}\) cuando los valores propios no están en el campo original.
• Ortogonalidad: la forma de Jordan es una forma normal por semejanza, no normalmente una diagonalización ortogonal.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Repaso final

• Un vector propio generalizado satisface \((A-\lambda I)^k v=0\) para algún \(k\ge1\).
• Un bloque de Jordan es \(\lambda I\) más un desplazamiento nilpotente.
• Una cadena de Jordan de longitud \(k\) produce un bloque de tamaño \(k\).
• La multiplicidad algebraica es el tamaño total de los bloques.
• La multiplicidad geométrica es el número de bloques.
• El tamaño del bloque más grande es el exponente en el polinomio mínimo.
• Diagonalizable significa que cada bloque de Jordan tiene tamaño \(1\).
• El espacio propio generalizado es el núcleo estabilizado de potencias de \(A-\lambda I\).
• El índice de nilpotencia es el mayor tamaño de bloque nilpotente.
• La traza y el determinante de una matriz de Jordan vienen de las entradas diagonales.