Un bloc de Jordan est une valeur propre plus un décalage nilpotent

Idée clé

Un bloc de Jordan de taille \(k\) est \(J_k(\lambda)=\lambda I+N\), où \(N\) a \(1\) juste au-dessus de la diagonale. La partie nilpotente vérifie \(N^k=0\) mais \(N^{k-1}≠0\). Un bloc non trivial, c’est-à-dire \(k>1\), est l’obstruction de base à la diagonalisation.

Liste de reconnaissance

• Les entrées diagonales donnent la valeur propre \(\lambda\), répétée \(k\) fois.
• Les entrées \(1\) sur la surdiagonale créent la relation de chaîne.
• \((J_k(\lambda)-\lambda I)^k=0\).
• Un seul bloc contribue exactement une direction de vecteur propre ordinaire.
• Pour un bloc non trivial \(2\times2\), \(J-\lambda I\) est de rang \(1\) et son noyau est de dimension \(1\).
• Un bloc de taille \(1\) est déjà diagonal.

Exemple corrigé

À vous

Une chaîne explique où se placent les vecteurs propres généralisés

Idée clé

Soit \(N=A-\lambda I\). Une chaîne de longueur \(3\), \(v_1,v_2,v_3\), vérifie \(Nv_1=0\), \(Nv_2=v_1\) et \(Nv_3=v_2\). Dans la base ordonnée \((v_1,v_2,v_3)\), la restriction de \(A\) possède un bloc de Jordan \(J_3(\lambda)\).

Recette de chaîne

• Commencez avec un vecteur propre ordinaire \(v_1\in\ker N\).
• Trouvez \(v_2\) tel que \(Nv_2=v_1\) lorsqu’une chaîne de longueur \(2\) existe.
• Trouvez \(v_3\) tel que \(Nv_3=v_2\) pour une chaîne de longueur \(3\).
• Le dernier vecteur \(v_k\) est annulé par \(N^k\), mais pas par \(N^{k-1}\).
• Chaque chaîne contribue un bloc de Jordan.

Exemple corrigé

À vous

Le nombre de blocs sépare la multiplicité algébrique de la multiplicité géométrique

Idée clé

Pour une valeur propre fixée \(\lambda\), la multiplicité algébrique est la taille totale de tous les blocs associés à \(\lambda\). La multiplicité géométrique est \(\dim\ker(A-\lambda I)\), ce qui égale le nombre de blocs associés à \(\lambda\), car chaque bloc contribue une direction de vecteur propre.

Faits sur les multiplicités

• Un bloc de taille \(3\) : multiplicité algébrique \(3\), multiplicité géométrique \(1\).
• Des blocs de tailles \(2\) et \(1\) : multiplicité algébrique \(3\), multiplicité géométrique \(2\).
• Trois blocs de taille \(1\) : multiplicité algébrique \(3\), multiplicité géométrique \(3\), donc la partie associée à \(\lambda\) est diagonale.
• Pour chaque valeur propre, la diagonalisabilité exige que la multiplicité géométrique égale la multiplicité algébrique.

Exemple corrigé

À vous

Le polynôme minimal voit le plus grand bloc

Idée clé

Si le plus grand bloc de Jordan pour \(\lambda\) a la taille \(s\), alors \(m_A(X)\) contient le facteur \((X-\lambda)^s\). Le polynôme caractéristique compte la taille totale des blocs ; le polynôme minimal enregistre la taille du plus grand bloc pour chaque valeur propre.

Règles du polynôme minimal

• Un seul bloc \(3\times3\) pour \(\lambda\) a pour polynôme minimal \((X-\lambda)^3\).
• La matrice scalaire \(\lambda I\) a pour polynôme minimal \(X-\lambda\).
• Si le polynôme minimal n’a aucun facteur répété et se scinde en facteurs linéaires, chaque bloc a la taille \(1\).
• Les facteurs répétés dans \(m_A\) identifient les blocs de Jordan non triviaux.

Exemple corrigé

À vous

Les espaces propres généralisés sont des noyaux stables de puissances

Idée clé

L’espace propre généralisé pour \(\lambda\) est le noyau final des puissances de \(N=A-\lambda I\) : \(\ker N\subseteq\ker N^2\subseteq\cdots\). En dimension finie, cette chaîne se stabilise, et l’espace stable contient tous les vecteurs des chaînes de Jordan pour \(\lambda\).

Échelle des noyaux

• \(\ker N\) est l’espace propre ordinaire.
• \(\ker N^2\) ajoute les vecteurs de hauteur au plus \(2\) dans les chaînes.
• \(\ker N^k\) ajoute les vecteurs de hauteur au plus \(k\).
• Pour une valeur propre fixée, la dimension stabilisée égale la multiplicité algébrique.
• Des valeurs propres différentes donnent des espaces propres généralisés dont la somme directe est l’espace tout entier lorsque le polynôme caractéristique se scinde.

Exemple corrigé

À vous

Les blocs nilpotents rendent la trace, le déterminant et les puissances faciles

Idée clé

Un bloc de Jordan nilpotent est \(J_k(0)\). Sa seule valeur propre est \(0\), et son indice de nilpotence est \(k\). Plus généralement, les matrices de Jordan sont triangulaires, donc la trace et le déterminant viennent des valeurs propres diagonales, comptées avec leur multiplicité algébrique.

Raccourcis d’invariants

• Un bloc nilpotent de taille \(k\) vérifie \(N^k=0\) et \(N^{k-1}≠0\).
• L’indice de nilpotence d’une matrice nilpotente est la plus grande taille de bloc nilpotent.
• La trace d’une matrice de Jordan est la somme des valeurs propres diagonales.
• Le déterminant d’une matrice de Jordan est le produit des valeurs propres diagonales.
• Un bloc de taille \(3\) de valeur propre \(\lambda\) a pour trace \(3\lambda\).

Exemple corrigé

À vous

La plupart des erreurs confondent les blocs, les corps et la diagonalisabilité

Pièges courants

• Algébrique contre géométrique : additionnez les tailles de blocs pour la multiplicité algébrique, comptez les blocs pour la multiplicité géométrique.
• Plus grand contre total : le polynôme minimal voit le plus grand bloc, pas la somme des tailles de blocs.
• Généralisé contre ordinaire : \(Nv=0\) est ordinaire ; \(N^kv=0\) pour un \(k\) plus grand est généralisé.
• Diagonalisable : chaque bloc doit avoir la taille \(1\) ; un seul bloc de taille \(2\) suffit pour échouer.
• Corps : la forme de Jordan complète peut exiger de travailler sur \(\mathbb{C}\) lorsque les valeurs propres ne sont pas dans le corps de départ.
• Orthogonalité : la forme de Jordan est une forme normale par similarité, généralement pas une diagonalisation orthogonale.

Exemple corrigé

À vous

Récapitulatif final

• Un vecteur propre généralisé vérifie \((A-\lambda I)^k v=0\) pour un certain \(k\ge1\).
• Un bloc de Jordan est \(\lambda I\) plus un décalage nilpotent.
• Une chaîne de Jordan de longueur \(k\) produit un bloc de taille \(k\).
• La multiplicité algébrique est la taille totale des blocs.
• La multiplicité géométrique est le nombre de blocs.
• La taille du plus grand bloc est l’exposant dans le polynôme minimal.
• Diagonalisable signifie que chaque bloc de Jordan a la taille \(1\).
• L’espace propre généralisé est le noyau stabilisé des puissances de \(A-\lambda I\).
• L’indice de nilpotence est la plus grande taille de bloc nilpotent.
• La trace et le déterminant d’une matrice de Jordan viennent des entrées diagonales.