जॉर्डन खंड एक स्वमान और एक शून्यघाती सरकाव से बना होता है

मुख्य विचार

आकार \(k\) का जॉर्डन खंड \(J_k(\lambda)=\lambda I+N\) होता है, जहाँ \(N\) के विकर्ण के ठीक ऊपर \(1\) होते हैं। शून्यघाती भाग \(N^k=0\) संतुष्ट करता है, लेकिन \(N^{k-1}≠0\)। गैर-तुच्छ खंड, यानी \(k>1\), विकर्णीकरण में मूल बाधा है।

पहचान जाँच-सूची

• विकर्ण प्रविष्टियाँ स्वमान \(\lambda\) देती हैं, जो \(k\) बार दोहराया जाता है।
• ऊपरी उपविकर्ण की \(1\) प्रविष्टियाँ शृंखला-संबंध बनाती हैं।
• \((J_k(\lambda)-\lambda I)^k=0\)।
• एक अकेला खंड ठीक एक साधारण स्वसदिश दिशा देता है।
• गैर-तुच्छ \(2\times2\) खंड के लिए \(J-\lambda I\) की रैंक \(1\) और कर्नेल आयाम \(1\) होता है।
• आकार \(1\) का खंड पहले से ही विकर्ण होता है।

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शृंखला बताती है कि सामान्यीकृत स्वसदिश कहाँ बैठते हैं

मुख्य विचार

मान लें \(N=A-\lambda I\)। लंबाई \(3\) की शृंखला \(v_1,v_2,v_3\) में \(Nv_1=0\), \(Nv_2=v_1\), और \(Nv_3=v_2\) होता है। क्रमित आधार \((v_1,v_2,v_3)\) में \(A\) का प्रतिबंध एक जॉर्डन खंड \(J_3(\lambda)\) रखता है।

शृंखला बनाने की विधि

• साधारण स्वसदिश \(v_1\in\ker N\) से शुरू करें।
• \(v_2\) खोजें जिसके लिए \(Nv_2=v_1\), जब लंबाई \(2\) की शृंखला मौजूद हो।
• \(v_3\) खोजें जिसके लिए \(Nv_3=v_2\), लंबाई \(3\) की शृंखला के लिए।
• शीर्ष सदिश \(v_k\), \(N^k\) से शून्य होता है, पर \(N^{k-1}\) से नहीं।
• हर शृंखला एक जॉर्डन खंड देती है।

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खंडों की गिनती बीजीय और ज्यामितीय बहुलता को अलग करती है

मुख्य विचार

किसी निश्चित स्वमान \(\lambda\) के लिए, बीजीय बहुलता सभी \(\lambda\)-खंडों के कुल आकार के बराबर होती है। ज्यामितीय बहुलता \(\dim\ker(A-\lambda I)\) है, जो \(\lambda\)-खंडों की संख्या के बराबर होती है, क्योंकि हर खंड एक स्वसदिश दिशा देता है।

बहुलता संबंधी तथ्य

• आकार \(3\) का एक खंड: बीजीय बहुलता \(3\), ज्यामितीय बहुलता \(1\)।
• आकार \(2\) और \(1\) के खंड: बीजीय बहुलता \(3\), ज्यामितीय बहुलता \(2\)।
• आकार \(1\) के तीन खंड: बीजीय बहुलता \(3\), ज्यामितीय बहुलता \(3\), इसलिए \(\lambda\)-भाग विकर्ण है।
• हर स्वमान के लिए, विकर्णनीयता हेतु ज्यामितीय बहुलता का बीजीय बहुलता के बराबर होना आवश्यक है।

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न्यूनतम बहुपद सबसे बड़े खंड को देखता है

मुख्य विचार

यदि \(\lambda\) के लिए सबसे बड़े जॉर्डन खंड का आकार \(s\) है, तो \(m_A(X)\) में गुणनखंड \((X-\lambda)^s\) होता है। चरित्रिक बहुपद कुल खंड आकार गिनता है; न्यूनतम बहुपद हर स्वमान के लिए सबसे बड़े खंड का आकार दर्ज करता है।

न्यूनतम बहुपद के नियम

• एक अकेले \(3\times3\) खंड, \(\lambda\) के लिए, का न्यूनतम बहुपद \((X-\lambda)^3\) होता है।
• अदिश मैट्रिक्स \(\lambda I\) का न्यूनतम बहुपद \(X-\lambda\) होता है।
• यदि न्यूनतम बहुपद में कोई दोहराया गुणनखंड नहीं है और वह रैखिक गुणनखंडों में विभाजित होता है, तो हर खंड का आकार \(1\) है।
• \(m_A\) में दोहराए गए गुणनखंड गैर-तुच्छ जॉर्डन खंडों की पहचान करते हैं।

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सामान्यीकृत स्व-अवकाश घातों के स्थिर कर्नेल होते हैं

मुख्य विचार

\(\lambda\) के लिए सामान्यीकृत स्व-अवकाश \(N=A-\lambda I\) की घातों का अंततः स्थिर हो जाने वाला कर्नेल है: \(\ker N\subseteq\ker N^2\subseteq\cdots\)। सीमित आयाम में यह शृंखला स्थिर हो जाती है, और स्थिर अवकाश में \(\lambda\) की जॉर्डन शृंखलाओं के सभी सदिश होते हैं।

कर्नेल सीढ़ी

• \(\ker N\) साधारण स्व-अवकाश है।
• \(\ker N^2\) शृंखलाओं में अधिकतम ऊँचाई \(2\) वाले सदिश जोड़ता है।
• \(\ker N^k\) अधिकतम ऊँचाई \(k\) वाले सदिश जोड़ता है।
• किसी निश्चित स्वमान के लिए, स्थिर आयाम बीजीय बहुलता के बराबर होता है।
• जब चरित्रिक बहुपद विभाजित होता है, अलग-अलग स्वमान ऐसे सामान्यीकृत स्व-अवकाश देते हैं जिनका प्रत्यक्ष योग पूरा अवकाश होता है।

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शून्यघाती खंड अनुरेख, सारणिक और घातों को आसान बनाते हैं

मुख्य विचार

शून्यघाती जॉर्डन खंड \(J_k(0)\) होता है। उसका एकमात्र स्वमान \(0\) है, और उसका शून्यघातिता सूचकांक \(k\) है। अधिक सामान्य रूप से, जॉर्डन मैट्रिक्स त्रिभुजीय होते हैं, इसलिए अनुरेख और सारणिक विकर्ण स्वमानों से आते हैं, जिन्हें बीजीय बहुलता सहित गिना जाता है।

अपरिवर्तियों के शॉर्टकट

• आकार \(k\) का शून्यघाती खंड \(N^k=0\) और \(N^{k-1}≠0\) संतुष्ट करता है।
• शून्यघाती मैट्रिक्स का शून्यघातिता सूचकांक सबसे बड़े शून्यघाती खंड का आकार है।
• जॉर्डन मैट्रिक्स का अनुरेख विकर्ण स्वमानों का योग है।
• जॉर्डन मैट्रिक्स का सारणिक विकर्ण स्वमानों का गुणनफल है।
• आकार \(3\) का खंड, स्वमान \(\lambda\) के साथ, अनुरेख \(3\lambda\) रखता है।

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अधिकांश गलतियाँ खंडों, क्षेत्रों और विकर्णनीयता को मिला देती हैं

आम गलतियाँ

• बीजीय बनाम ज्यामितीय: बीजीय बहुलता के लिए खंड आकार जोड़ें, ज्यामितीय बहुलता के लिए खंड गिनें।
• सबसे बड़ा बनाम कुल: न्यूनतम बहुपद सबसे बड़ा खंड देखता है, खंड आकारों का योग नहीं।
• सामान्यीकृत बनाम साधारण: \(Nv=0\) साधारण है; \(N^kv=0\) किसी बड़े \(k\) के लिए सामान्यीकृत है।
• विकर्णनीय: हर खंड का आकार \(1\) होना चाहिए; आकार \(2\) का एक खंड भी विफल करने के लिए पर्याप्त है।
• क्षेत्र: जब स्वमान मूल क्षेत्र में न हों, तो पूरा जॉर्डन रूप पाने के लिए \(\mathbb{C}\) पर काम करना पड़ सकता है।
• लंबकोणीयता: जॉर्डन रूप सदृश्यता से मिलने वाला मानक रूप है, आम तौर पर लंबकोणीय विकर्णीकरण नहीं।

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अंतिम पुनरावृत्ति

• सामान्यीकृत स्वसदिश \((A-\lambda I)^k v=0\) संतुष्ट करता है, किसी \(k\ge1\) के लिए।
• जॉर्डन खंड \(\lambda I\) और एक शून्यघाती सरकाव का योग है।
• लंबाई \(k\) की जॉर्डन शृंखला आकार \(k\) का एक खंड बनाती है।
• बीजीय बहुलता कुल खंड आकार है।
• ज्यामितीय बहुलता खंडों की संख्या है।
• सबसे बड़े खंड का आकार न्यूनतम बहुपद में घातांक है।
• विकर्णनीय का अर्थ है कि हर जॉर्डन खंड का आकार \(1\) है।
• सामान्यीकृत स्व-अवकाश \(A-\lambda I\) की घातों का स्थिर कर्नेल है।
• शून्यघातिता सूचकांक सबसे बड़े शून्यघाती खंड का आकार है।
• जॉर्डन मैट्रिक्स का अनुरेख और सारणिक विकर्ण प्रविष्टियों से आते हैं।