Um bloco de Jordan é um autovalor mais um deslocamento nilpotente

Ideia-chave

Um bloco de Jordan de tamanho \(k\) é \(J_k(\lambda)=\lambda I+N\), em que \(N\) tem \(1\) logo acima da diagonal. A parte nilpotente satisfaz \(N^k=0\), mas \(N^{k-1}≠0\). Um bloco não trivial, isto é, \(k>1\), é a obstrução básica à diagonalização.

Lista de reconhecimento

• As entradas diagonais dão o autovalor \(\lambda\), repetido \(k\) vezes.
• As entradas \(1\) na superdiagonal criam a relação de cadeia.
• \((J_k(\lambda)-\lambda I)^k=0\).
• Um único bloco contribui exatamente uma direção de autovetor comum.
• Um bloco de tamanho \(1\) já é diagonal.

Exemplo resolvido

Pratique

Uma cadeia explica onde os autovetores generalizados ficam

Ideia-chave

Seja \(N=A-\lambda I\). Uma cadeia de comprimento \(3\), \(v_1,v_2,v_3\), satisfaz \(Nv_1=0\), \(Nv_2=v_1\) e \(Nv_3=v_2\). Na base ordenada \((v_1,v_2,v_3)\), a restrição de \(A\) tem um bloco de Jordan \(J_3(\lambda)\).

Receita de cadeia

• Comece com um autovetor comum \(v_1\in\ker N\).
• Encontre \(v_2\) com \(Nv_2=v_1\) quando existe uma cadeia de comprimento \(2\).
• Encontre \(v_3\) com \(Nv_3=v_2\) para uma cadeia de comprimento \(3\).
• O vetor do topo \(v_k\) é anulado por \(N^k\), mas não por \(N^{k-1}\).
• Cada cadeia contribui um bloco de Jordan.

Exemplo resolvido

Pratique

A contagem de blocos separa multiplicidade algébrica de geométrica

Ideia-chave

Para um autovalor fixo \(\lambda\), a multiplicidade algébrica é o tamanho total de todos os blocos de \(\lambda\). A multiplicidade geométrica é \(\dim\ker(A-\lambda I)\), que é igual ao número de blocos de \(\lambda\), porque cada bloco contribui uma direção de autovetor.

Fatos sobre multiplicidade

• Um bloco de tamanho \(3\): multiplicidade algébrica \(3\), multiplicidade geométrica \(1\).
• Blocos de tamanhos \(2\) e \(1\): multiplicidade algébrica \(3\), multiplicidade geométrica \(2\).
• Três blocos de tamanho \(1\): multiplicidade algébrica \(3\), multiplicidade geométrica \(3\), então a parte de \(\lambda\) é diagonal.
• Para cada autovalor, a diagonalizabilidade exige multiplicidade geométrica igual à multiplicidade algébrica.

Exemplo resolvido

Pratique

O polinômio minimal enxerga o maior bloco

Ideia-chave

Se o maior bloco de Jordan para \(\lambda\) tem tamanho \(s\), então \(m_A(X)\) contém o fator \((X-\lambda)^s\). O polinômio característico conta o tamanho total dos blocos; o polinômio minimal registra o maior tamanho de bloco para cada autovalor.

Regras do polinômio minimal

• Um único bloco \(3\times3\) para \(\lambda\) tem polinômio minimal \((X-\lambda)^3\).
• A matriz escalar \(\lambda I\) tem polinômio minimal \(X-\lambda\).
• Se o polinômio minimal não tem fator repetido e se decompõe em fatores lineares, todo bloco tem tamanho \(1\).
• Fatores repetidos em \(m_A\) identificam blocos de Jordan não triviais.

Exemplo resolvido

Pratique

Autoespaços generalizados são núcleos estáveis de potências

Ideia-chave

O autoespaço generalizado para \(\lambda\) é o núcleo eventual das potências de \(N=A-\lambda I\): \(\ker N\subseteq\ker N^2\subseteq\cdots\). Em dimensão finita, essa cadeia estabiliza, e o espaço estável contém todos os vetores nas cadeias de Jordan para \(\lambda\).

Escada de núcleos

• \(\ker N\) é o autoespaço comum.
• \(\ker N^2\) acrescenta vetores de altura no máximo \(2\) nas cadeias.
• \(\ker N^k\) acrescenta vetores de altura no máximo \(k\).
• Para um autovalor fixo, a dimensão estabilizada é igual à multiplicidade algébrica.
• Autovalores diferentes dão autoespaços generalizados cuja soma direta é o espaço todo quando o polinômio característico se decompõe.

Exemplo resolvido

Pratique

Blocos nilpotentes tornam traço, determinante e potências fáceis

Ideia-chave

Um bloco de Jordan nilpotente é \(J_k(0)\). Seu único autovalor é \(0\), e seu índice de nilpotência é \(k\). Mais geralmente, matrizes de Jordan são triangulares, então traço e determinante vêm dos autovalores diagonais, contados com multiplicidade algébrica.

Atalhos de invariantes

• Um bloco nilpotente de tamanho \(k\) satisfaz \(N^k=0\) e \(N^{k-1}≠0\).
• O índice de nilpotência de uma matriz nilpotente é o maior tamanho de bloco nilpotente.
• O traço de uma matriz de Jordan é a soma dos autovalores diagonais.
• O determinante de uma matriz de Jordan é o produto dos autovalores diagonais.
• Um bloco de tamanho \(3\) com autovalor \(\lambda\) tem traço \(3\lambda\).

Exemplo resolvido

Pratique

A maioria dos erros confunde blocos, corpos e diagonalizabilidade

Armadilhas comuns

• Algébrica versus geométrica: some tamanhos de blocos para a multiplicidade algébrica, conte blocos para a multiplicidade geométrica.
• Maior versus total: o polinômio minimal enxerga o maior bloco, não a soma dos tamanhos dos blocos.
• Generalizado versus comum: \(Nv=0\) é comum; \(N^kv=0\) para algum \(k\) maior é generalizado.
• Diagonalizável: todo bloco deve ter tamanho \(1\); um único bloco de tamanho \(2\) já basta para falhar.
• Corpo: a forma de Jordan completa pode exigir trabalhar sobre \(\mathbb{C}\) quando os autovalores não estão no corpo original.
• Ortogonalidade: a forma de Jordan é uma forma normal por semelhança, não geralmente uma diagonalização ortogonal.

Exemplo resolvido

Pratique

Recapitulação final

• Um autovetor generalizado satisfaz \((A-\lambda I)^k v=0\) para algum \(k\ge1\).
• Um bloco de Jordan é \(\lambda I\) mais um deslocamento nilpotente.
• Uma cadeia de Jordan de comprimento \(k\) produz um bloco de tamanho \(k\).
• A multiplicidade algébrica é o tamanho total dos blocos.
• A multiplicidade geométrica é o número de blocos.
• O maior tamanho de bloco é o expoente no polinômio minimal.
• Diagonalizável significa que todo bloco de Jordan tem tamanho \(1\).
• O autoespaço generalizado é o núcleo estabilizado das potências de \(A-\lambda I\).
• O índice de nilpotência é o maior tamanho de bloco nilpotente.
• Traço e determinante de uma matriz de Jordan vêm das entradas diagonais.